Informations

Numéro de reproduction d'un modèle SIR avec mortalité

Numéro de reproduction d'un modèle SIR avec mortalité


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

On sait que le nombre de reproduction $mathcal{R}_0$ est $frac{alpha}{eta}$ pour le système suivant, tel que si $mathcal{R}_0>1$, il y a une épidémie dans la population.

Maintenant, supposons le système ci-dessous avec un taux de mortalité de $delta$ :

Je me demande laquelle des options ci-dessous représente ${R}_0$ ?

  1. ${R}_0 = frac{alpha}{eta + delta}$
  2. ${R}_0 = frac{alpha}{eta delta}$
  3. ${R}_0 = frac{alpha}{eta}+frac{alpha}{delta}$

Pourriez-vous marquer la bonne option avec sa justification ?

Merci


La seule réponse qui a un sens numérique est 1. Le produit de deux taux bêta et delta (récupération * décès) ne signifie rien dans SIR. Et à la réponse trois, vous doublez le taux d'infection (alpha). En regardant dans l'autre sens, pour R_0, peu importe la façon dont les gens quittent la classe Infecté, une fois que vous êtes mort ou guéri, vous ne transmettez plus la maladie. Par conséquent, vous pouvez dire qu'une certaine valeur Zeta est la sortie de la classe Infectée et Zeta serait la somme de tous les taux qui empêchent une personne d'être infectieuse.


Certes, je n'ai pas travaillé avec les modèles SIR, mais pour moi la réponse est définitivement nr. 1.

Fondamentalement, $R_0$ est défini comme le nombre d'infections secondaires d'un seul individu dans une population non infectée. Il est parfois décrit comme :

$ R_0 = gamma *c * d $,

où $gamma$ est la probabilité de transmettre la maladie, $c$ est le taux de contact moyen (taux de rencontre avec d'autres individus), et $d$ la durée moyenne étant infectieuse (qui est de 1$/eta$, il y a $ beta$ est le taux de récupération). Dans votre expression ci-dessus $alpha = gamma*c$.

Dans ce modèle simple de $R_0$, l'ajout d'un taux de mortalité équivaut essentiellement à ajouter une autre façon d'être retiré d'être infectieux (vous pouvez récupérer ou mourir). Par conséquent, le temps attendu pour être infectieux (auparavant 1 $/eta$) est maintenant la somme de deux taux, 1 $/(eta + delta)$, où $delta$ est le taux de mortalité (la multiplication des deux taux serait similaire à l'estimation de la probabilité qu'une personne guérisse et meure de l'infection). Cela signifie que $R_0$ avec un taux de mortalité est :

$$ R_0 = frac {gamma c}{eta+delta} = frac {alpha}{eta+delta}$$

Cependant, il existe également des manières plus compliquées (et réalistes) de modéliser des situations avec un taux de mortalité.

(J'ai commencé ma réponse avant la belle réponse de @Artems, c'est pourquoi je poste ceci comme réponse complémentaire.)


Estimation du nombre de reproduction variable dans le temps de COVID-19 avec une méthode d'espace d'état

Après avoir ralenti la propagation du nouveau coronavirus COVID-19, de nombreux pays ont commencé à assouplir leurs mesures de confinement face aux dommages critiques causés aux structures socio-économiques. A ce stade, il est souhaitable de surveiller dans quelle mesure les mesures politiques ou les affaires sociales ont exercé une influence sur la propagation de la maladie. Bien qu'il soit difficile de retracer la transmission individuelle d'infections dont les périodes d'incubation sont longues et très variables, il est possible d'estimer le taux de propagation moyen si un modèle mathématique approprié peut être conçu pour analyser les événements quotidiens. Pour rendre une évaluation précise, nous avons conçu une méthode d'espace d'état pour ajuster une variante à temps discret du processus de Hawkes à un ensemble de données donné de cas confirmés quotidiens. La méthode proposée détecte les changements survenus dans chaque pays et évalue l'impact des événements sociaux en termes de nombre de reproduction variant dans le temps, ce qui correspond au nombre moyen de cas directement causés par un seul cas infecté. De plus, la méthode proposée peut être utilisée pour prédire les conséquences possibles de mesures politiques alternatives. Ces informations peuvent servir de référence pour les directives comportementales qui devraient être adoptées en fonction du risque variable d'infection.


Le modèle SIR pour la propagation de la maladie - Le modèle d'équation différentielle

Comme première étape du processus de modélisation, nous identifions les variables indépendantes et dépendantes. La variable indépendante est le temps  t,  mesuré en jours. Nous considérons deux ensembles liés de variables dépendantes.

Le premier ensemble de variables dépendantes compte personnes dans chacun des groupes, chacun en fonction du temps :

S = S(t) est le nombre de sensible personnes,
Je = I(t) est le nombre de infecté individus, et
R = R(t) est le nombre de rétabli personnes.

Le deuxième ensemble de variables dépendantes représente le fraction de la population totale dans chacune des trois catégories. Donc, si  N  est la population totale (7 900 000 dans notre exemple), nous avons

s(t) = S(t)/N, la fraction sensible de la population,
i(t) = I(t)/N, la fraction infectée de la population, et
r(t) = R(t)/N, la fraction récupérée de la population.

Il peut sembler plus naturel de travailler avec des dénombrements de population, mais certains de nos calculs seront plus simples si nous utilisons plutôt les fractions. Les deux ensembles de variables dépendantes sont proportionnels l'un à l'autre, de sorte que l'un ou l'autre ensemble nous donnera les mêmes informations sur la progression de l'épidémie.

    D'après les hypothèses que nous avons faites, comment pensez-vous  s(t)  devrait-il varier dans le temps ? Comment  r(t)  varier dans le temps ? Comment  ce)  varier dans le temps ?

Ensuite, nous faisons quelques hypothèses sur les taux de changement de nos variables dépendantes :

Personne n'est ajoutée au groupe sensible, puisque nous ignorons les naissances et l'immigration. La seule façon pour un individu feuilles le groupe sensible est de s'infecter. Nous supposons que le taux de variation de  S(t),  le numéro de susceptibles, 1 dépend du nombre déjà sensible, du nombre d'individus déjà infectés et du nombre de contacts entre susceptibles et infectés. En particulier, supposons que chaque individu infecté ait un numéro fixe  b  de contacts par jour suffisants pour propager la maladie. Tous ces contacts ne sont pas avec des individus sensibles. Si nous supposons un mélange homogène de la population, la fraction de ces contacts qui sont avec des susceptibles est  s(t).  Ainsi, en moyenne, chaque individu infecté génère  b s(t)  nouveaux individus infectés par jour. [Avec une grande population sensible et une population infectée relativement petite, nous pouvons ignorer les situations de comptage délicates telles qu'une seule personne sensible rencontrant plus d'une personne infectée au cours d'une journée donnée.]

Voyons ce que ces hypothèses nous disent sur les dérivées de nos variables dépendantes.

    L'équation sensible . Expliquez soigneusement comment chaque composante de l'équation différentielle

(1)

découle du texte précédant cette étape. En particulier,

    Pourquoi le facteur  Ce)  présent?

(3)

découle de l'une des hypothèses précédant l'étape 4.

(4)

Quelle hypothèse sur le modèle cela reflète-t-il? Expliquez maintenant soigneusement comment chaque composant de l'équation

(5)

découle de ce que vous avez fait jusqu'à présent. En particulier,

Enfin, nous complétons notre modèle en donnant à chaque équation différentielle une condition initiale. Pour ce virus particulier – la grippe de Hong Kong à New York à la fin des années 1960 – presque personne n'était immunisé au début de l'épidémie, donc presque tout le monde était sensible. Nous supposerons qu'il y avait une trace d'infection dans la population, disons, 10 personnes. 2  Ainsi, nos valeurs initiales pour les variables de population sont

S(0) =ه.900.000
I(0) =㺊
R(0) =ـ

En termes de variables d'échelle, ces conditions initiales sont

s(0) =ف
i(0) =ف.27 x㺊 - 6
r(0) =ـ

(Remarque : La somme de nos populations de départ n'est pas exactement  N,  et la somme de nos fractions n'est pas exactement  1.  Le niveau de trace d'infection est si faible que cela ne fera aucune différence.) Notre modèle complet est

Nous ne connaissons pas les valeurs des paramètres  b  et    encore, mais nous pouvons les estimer, puis les ajuster si nécessaire pour s'adapter aux données sur les décès en excès. Nous avons déjà estimé la période moyenne d'infectiosité à trois jours, ce qui suggère  k =ف/3.  Si nous supposons que chaque personne infectée établirait un contact potentiellement infectieux tous les deux jours, alors  b  serait  1/2.  Nous soulignons qu'il ne s'agit que d'une supposition. Le graphique suivant montre les courbes de solution pour ces choix de  b  et  k

    Aux étapes 1 et 2, vous avez enregistré vos idées sur ce à quoi devraient ressembler les fonctions de la solution. Comment ces idées se comparent-elles avec la figure ci-dessus ? En particulier,

    Que pensez-vous du niveau d'infection relativement faible au pic de l'épidémie ?

Dans la partie 3, nous verrons comment les courbes de solution peuvent être calculées même sans formules pour les fonctions de solution.

1  Notez que nous avons transformé l'adjectif « sensible » en un nom. Il est d'usage courant en épidémiologie de faire référence aux « sensibles », aux « infectés » et aux « récupérés » plutôt que d'utiliser toujours des expressions plus longues telles que « population de personnes sensibles » ou même « le groupe susceptible ».

2  Pendant que je(0) est normalement petit par rapport à N, nous devons avoir I(0) >ـ pour qu'une épidémie se développe. L'équation (5) dit, tout à fait raisonnablement, que si Je =ـ au moment 0 (ou à tout moment), alors dI/dt =ـ aussi, et il ne peut jamais y avoir d'augmentation par rapport au 0 niveau d'infection.

David Smith et Lang Moore, "Le modèle SIR pour la propagation de la maladie - Le modèle d'équation différentielle," Convergence (décembre 2004)


Dérivation des formules

Nous voulons maintenant obtenir le nombre d'infectés, sensibles et guéris pour tous les jours, juste à partir de β, et N. Maintenant, il est difficile d'obtenir une formule directe pour S(t), I(t) et R(t) . Cependant, il est assez simple de décrire le changement par jour de S, I et R, c'est-à-dire comment le nombre de sujets sensibles/infectés/récupérés change en fonction des nombres actuels. Encore une fois, nous allons dériver les formules par exemple :

Nous sommes maintenant au jour t après l'apparition de la maladie X. Néanmoins, le nombre de personnes qu'une personne infectée infecte par jour est de 1 (donc β=1) et le nombre de jours qu'une personne infectée a et peut propager la maladie est de 7 (donc γ=1/7 et D=7).

Disons qu'au jour t, 60 personnes sont infectées (donc I(t)=60), la population totale est de 100 (donc N=100), et 30 personnes sont encore sensibles (donc S(t)=30 et R( t)=100–60–30=10). Maintenant, comment S(t) et I(t) et R(t) passent-ils au jour suivant ?

Nous avons 60 personnes infectées. Chacun d'eux infecte 1 personne par jour (c'est ). Cependant, seulement 30/100 = 30% des personnes qu'ils rencontrent sont encore sensibles et peuvent être infectées (c'est S(t) / N). Donc, ils infectent 60 ⋅ 1 ⋅ 30/100 = 18 personnes (encore une fois, réfléchissez-y jusqu'à ce que cela ait vraiment du sens : 60 infectés qui infectent en moyenne 1 personne par jour, mais seulement 30 personnes sur 100 peuvent encore être infectées, donc ils ne pas infecter 60⋅1 personnes, mais seulement 60⋅1⋅30/100 = 18 personnes). Ainsi, 18 personnes parmi les susceptibles sont infectées, donc S(t) change de moins 18. En branchant les variables, nous venons de dériver la première formule :

Changement de S(t) au jour suivant = - β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N.

Si vous êtes familier avec le calcul, vous savez que nous avons un terme pour décrire le changement d'une fonction : la dérivée S'(t) ou dS/dt. (Après avoir dérivé et compris toutes les dérivées S'(t), I'(t) et R'(t), nous pouvons calculer les valeurs de S(t), I(t) et R(t) pour chaque journée.)

Maintenant, comment la quantité d'infections change-t-elle ? C'est facile : il y a de nouvelles personnes infectées, nous venons de le voir. Exactement le nombre de personnes qui « partent » S(t) « arrivent » à I(t). Donc, nous avons 18 nouveaux infectés et nous savons déjà que la formule sera similaire à celle-ci : I'(t) = + β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N (bien sûr, on peut omettre le plus, c'est juste pour vous montrer que nous gagnons le montant exact que S(t) perd, donc nous changeons simplement le signe). Il ne manque qu'une chose : certaines personnes se rétablissent. Rappelez-vous, nous avons γ pour cela, c'est la proportion de personnes infectées guérissant par jour, c'est exactement ce dont nous avons besoin!

Nous avons 60 infectés et γ=1/3, donc un tiers des 60 guérit. Soit 1/3 ⋅ 60 = 20. Finalement, on obtient la formule :

Encore une fois, réfléchissez-y une minute. La première partie concerne les personnes nouvellement infectées par les sujets sensibles. La deuxième partie est les récupérations.

Enfin, nous arrivons à la dernière formule, la variation des récupérations. C'est simple : les nouveaux récupérés sont exactement les 20 que nous venons de calculer, il n'y a personne qui quitte le compartiment « récupéré ». Une fois rétablis, ils restent immunisés :

Super, nous avons maintenant dérivé (et compris) toutes les formules dont nous avons besoin ! Les voici à nouveau avec une notation plus courante pour la dérivée et le « (t) » laissé de côté comme on le fait souvent :

De telles équations sont appelées équations différentielles ordinaires (EDO) (vous n'aurez besoin d'aucune connaissance à leur sujet pour suivre cette série).

Nous pouvons maintenant décrire le monnaie du nombre de personnes sensibles, infectées et guéries. À partir de ces formules, heureusement, nous pouvons calculer les nombres qui nous intéressent vraiment : S(t), I(t) et R(t), le nombre de personnes sensibles, infectées et guéries pour chaque jour t. Encore plus heureusement, nous n'avons rien à faire nous-mêmes, python fournit de nombreux outils pour résoudre les EDO !


Numéro de reproduction d'un modèle SIR avec mortalité - Biologie

La période inter-épidémique est calculée à partir de la plus grande partie imaginaire des valeurs propres de la matrice jacobienne évaluée à l'équilibre endémique.

Les trajectoires d'infection montrent une solution numérique aux équations SEIRS avec 1 000 pas de temps et paramètres initiaux

$S(0) = 0.999 - p$ $E(0) = 0.001$ $I(0) = 0$ $R(0) = p$ $S + E + I + R = N = 1$

p est la fraction vaccinale.

Points d'importance : le modèle SEIRS pour la dynamique des maladies infectieuses

Ottar Bjørnstad 1,2 , Katriona Shea 1 , Martin Krzywinski 3 , Naomi Altman 4

1. Département de biologie, Pennsylvania State University, State College, PA, États-Unis.

2. Département d'entomologie, Pennsylvania State University, State College, PA, États-Unis.

3. Centre canadien des sciences du génome Michael Smith, Vancouver, Colombie-Britannique, Canada.

4. Département de statistique, Pennsylvania State University, State College, Pennsylvanie, États-Unis.

Télécharger le code

Citation

Historique des versions

23 mai 2020 v1.0.0 &mdash version publique initiale

22 juin 2020 v1.0.1 &mdash a ajouté des liens à la première colonne

17 août 2020 v1.0.2 &mdash a ajouté des liens vers toutes les colonnes de colonnes

Colonnes associées

Shea, K., Bjørnstad, O., Krzywinski, M. & Altman, N. Points d'importance : incertitude et gestion des épidémies. (2020) Méthodes naturelles 17 (dans la presse). (chiffres interactifs, code de téléchargement)


Dérivation du compartiment mort

Pour les maladies très mortelles, ce compartiment est très important. Pour d'autres situations, vous voudrez peut-être ajouter des compartiments et des dynamiques complètement différents (comme les naissances et les décès non liés à une maladie lors de l'étude d'une maladie sur une longue période), ces modèles peuvent devenir aussi complexes que vous le souhaitez !

Pensons à la façon dont nous pouvons prendre nos transitions actuelles et ajouter un lire Etat. Quand peut-on mourir de la maladie ? Seulement tant qu'ils sont infectés ! Cela signifie que nous devrons ajouter une transition I → D. Bien sûr, les gens ne meurent pas immédiatement Nous définissons une nouvelle variable (rho) pour la vitesse à laquelle les gens meurent (par exemple, quand il faut 6 jours pour mourir, sera 1/6). Il n'y a aucune raison pour que le taux de récupération, , change. Notre nouveau modèle ressemblera donc en quelque sorte à ceci :

La seule chose qui manque, ce sont les probabilités de passer d'infecté à guéri et d'infecté à mort. Ce sera une variable de plus (la dernière pour l'instant !), la taux de mortalité α. Par exemple, si α=5%, ρ = 1 et γ = 1 (donc les gens meurent ou guérissent en 1 jour, c'est un exemple plus facile) et 100 personnes sont infectées, alors 5% ⋅ 100 = 5 personnes mourront. Cela laisse 95% ⋅ 100 = 95 personnes en convalescence. Donc dans l'ensemble, la probabilité pour I → D est α et donc la probabilité pour I → R est 1-α. On arrive enfin à ce modèle :

Ce qui se traduit naturellement par ces équations :


Comment les modèles épidémiologiques de COVID-19 nous aident à estimer le nombre réel d'infections

Notre monde en données présente les données et la recherche pour progresser contre les plus grands problèmes du monde.
Notre principale publication sur la pandémie est ici : Pandémie de coronavirus (COVID-19).

Nous remercions les chercheurs dont nous couvrons le travail dans cet article pour leurs commentaires et suggestions utiles. Merci.

Nous mettons à jour les estimations du modèle avec les dernières données disponibles chaque semaine, généralement le lundi. Dernière mise à jour de la page : 22 juin 2021. 1

Une limitation clé dans notre compréhension de la pandémie de COVID-19 est que nous ne connaissons pas les vrai nombre d'infections. Au lieu de cela, nous ne connaissons que les infections qui ont été confirmées par un test – les cas confirmés. Mais parce que de nombreuses personnes infectées ne sont jamais testées 2, nous savons que les cas confirmés ne représentent qu'une fraction des véritables infections. Quelle petite fraction cependant?

Pour répondre à cette question, plusieurs groupes de recherche ont développé des modèles épidémiologiques de COVID-19. Ces modèles utilisent les données dont nous disposons – les cas confirmés et les décès, les taux de test, et plus encore – ainsi qu'une gamme d'hypothèses et de connaissances épidémiologiques pour estimer les véritables infections et d'autres mesures importantes.

Le graphique ci-dessous montre les estimations moyennes du nombre réel de nouvelles infections quotidiennes aux États-Unis à partir de quatre des modèles les plus importants. 3 À titre de comparaison, le nombre de cas confirmés est également indiqué.

Deux choses ressortent clairement de ce graphique : les quatre modèles conviennent que les véritables infections beaucoup plus nombreux cas confirmés.Mais les modèles ne sont pas d'accord sur l'ampleur et l'évolution des infections au fil du temps.

Lorsque le nombre de cas confirmés aux États-Unis a atteint un pic fin juillet 2020, les modèles IHME et LSHTM ont estimé que le nombre réel d'infections était environ deux fois plus élevé que les cas confirmés, le modèle ICL a estimé qu'il était près de trois fois plus élevé, et le modèle Youyang Gu&# x2019s a estimé qu'il était plus que six fois aussi haut. En mars, l'écart estimé entre les cas confirmés et les véritables infections était encore plusieurs fois plus élevé.

Dans cet article, nous examinons ces quatre modèles et en quoi ils diffèrent en décomposant leurs éléments essentiels : à quoi ils servent, comment ils fonctionnent, les données sur lesquelles ils sont basés et les hypothèses qu'ils font.

Nous visons également à rendre les estimations du modèle facilement accessibles dans nos graphiques interactifs, vous permettant d'explorer rapidement différents modèles de la pandémie pour la plupart des pays du monde. Pour ce faire, cliquez simplement sur 𠇌hanger de pays” sur chaque graphique.

Trois des quatre modèles que nous examinons sont des modèles “SEIR” 4, 5 qui simulent la façon dont les individus d'une population traversent quatre états d'une infection COVID-19 : être Ssensible, Eexposé, jeinfectieux, et Rretrouvés (ou décédés). La façon dont les individus se déplacent à travers ces états est déterminée par différents paramètres de modèle, qui sont nombreux. Deux principaux sont le nombre effectif de reproduction (Rt) 6 –  combien d'autres personnes une personne infectée par COVID-19 infecte à un moment donné – et le taux de mortalité par infection (IFR) – le pourcentage de personnes infectées avec une maladie qui en meurent.

Vous pouvez en savoir plus sur le fonctionnement des modèles SEIR en explorant ces ressources :

Cliquez pour ouvrir la version interactive

Collège impérial de Londres (ICL)

Modèle SEIR structuré par âge axé sur les pays à revenu faible et intermédiaire (détails au 23 août 2020)

Ce graphique montre les estimations du modèle ICL du nombre réel de nouvelles infections quotidiennes aux États-Unis. Pour voir les estimations pour d'autres pays, cliquez sur 𠇌hange country.” Les lignes intitulées “upper” et “lower” indiquent les limites d'un intervalle d'incertitude de 95 %. A titre de comparaison, le nombre de cas confirmés est également indiqué.

Site Internet
Régions couvertes

164 pays et territoires à travers le monde

Temps couvert

La première date couverte est le début estimé de la pandémie pour chaque pays. Le modèle fait des projections qui s'étendent sur 90 jours après la dernière date de mise à jour. 7

Fréquence de mise à jour
Quel est le modèle ?

Le modèle est une variante SEIR stochastique avec plusieurs états infectieux pour refléter différentes sévérités de COVID-19, telles que légère ou asymptomatique par rapport à sévère.

A quoi sert le modèle ?

ICL décrit son modèle comme un outil pour aider les pays à comprendre à quel stade se trouve le pays dans son épidémie (par exemple, avant ou après un pic) et comment la demande de soins de santé pourrait changer à l'avenir selon trois scénarios politiques. Ces scénarios sont conçus pour fournir un contrefactuel de ce qui pourrait arriver si les interventions actuelles étaient maintenues, augmentées ou assouplies et ne sont donc pas destinés à prévoir la mortalité future.

ICL utilise les estimations du modèle pour rédiger des rapports pour les pays à revenu faible et intermédiaire (PRFI) qui sont relativement tôt dans leurs épidémies, ces rapports se concentrent sur les 28 prochains jours. Les estimations du modèle téléchargeable incluent en outre des données pour certains pays à revenu élevé plus tard dans leurs épidémies (par exemple, les États-Unis et les pays de l'UE) et des projections à 90 jours dans le futur.

Sur la base du modèle, ICL publie des estimations des métriques suivantes :

  • Vraies infections (à ce jour et prévues)
  • Décès confirmés (projetés)
  • Demande d'hôpitaux et de soins intensifs (à ce jour et projetée)
  • Numéro de reproduction effectif, Rt (à ce jour et projeté)
Sur quelles données le modèle est-il basé ?

Le modèle est adapté aux données sur les décès confirmés 8 en utilisant un IFR estimé pour calculer en retour le nombre d'infections susceptibles de produire ce nombre de décès au cours des semaines précédentes. Il utilise les données de mobilité – de Google ou, si elles ne sont pas disponibles, déduites des données de mesures du gouvernement ACAPS – pour moduler le Rt, le paramètre clé de l'évolution de la transmission.

De plus, le modèle utilise des données spécifiques à l'âge et au pays sur la démographie, les modèles de contacts sociaux, la disponibilité des hôpitaux et le risque d'hospitalisation et de décès, bien que la disponibilité de ces données varie selon les pays.

Quelles sont les hypothèses clés et les limites potentielles ?

Le modèle utilise un IFR estimé pour chaque pays, calculé en appliquant les IFR spécifiques à l'âge observés en Chine et en Europe (d'environ 0,6 % 20131%) à la répartition par âge de ce pays. Dans des pays comme de nombreux PRFI avec des populations plus jeunes qu'en Chine et en Europe, cela se traduit par des estimations IFR de généralement 0,2𠄰,3%, car les populations plus jeunes ont des taux de mortalité associés plus faibles. Ces taux de mortalité plus faibles supposent toutefois un accès à des soins de santé suffisants, ce qui n'est pas toujours le cas dans les PRFI. Les différences entre les IFR estimés et réels pourraient avoir une incidence sur l'exactitude des estimations du modèle.

Le modèle suppose que le nombre de décès confirmés est égal au nombre réel de décès. Mais les recherches sur la surmortalité et les limites connues des capacités de test et de déclaration suggèrent que les décès confirmés sont souvent moins nombreux que les vrais décès. Lorsque c'est le cas, le modèle sous-estime probablement le véritable fardeau pour la santé.

Le modèle suppose que l'évolution de la transmission au fil du temps est fonction des tendances moyennes de mobilité pour des lieux tels que les magasins et les lieux de travail, mais pas les parcs et les zones résidentielles. 9 Si ces hypothèses sur la mobilité et la transmission ne tiennent pas, le modèle pourrait ne pas suivre avec précision la pandémie.

Comme tous les modèles, celui-ci fait de nombreuses hypothèses, et nous n'en couvrons que quelques-unes clés ici. Pour une liste complète, voir la description des méthodes de modèle.

Cliquez pour ouvrir la version interactive

Institut de mesure et d'évaluation de la santé (IHME)

Modèle hybride statistique/SEIR (détails au 23 août 2020)

Ce graphique montre les estimations du modèle IHME du nombre réel de nouvelles infections quotidiennes aux États-Unis. Pour voir les estimations pour d'autres pays, cliquez sur 𠇌hange country.” Les lignes intitulées “upper” et “lower” indiquent les limites d'un intervalle d'incertitude de 95 %. A titre de comparaison, le nombre de cas confirmés est également indiqué.

Site Internet
Régions couvertes

159 pays et territoires à travers le monde, y compris des données infranationales pour les États-Unis et plusieurs autres pays

Temps couvert

La première date couverte varie selon les pays. Le modèle fait des projections qui s'étendent sur environ 90 jours après la dernière date de mise à jour.

Fréquence de mise à jour

Environ une fois par semaine (bien que tous les pays ne soient pas mis à jour à chaque fois)

Quel est le modèle ?

Le modèle est un hybride avec deux composants principaux : un composant statistique de « modèle de décès » produit des estimations de décès qui sont utilisées pour ajuster un composant de modèle SEIR.

Notez que le modèle a connu deux mises à jour importantes depuis sa publication initiale :

A quoi sert le modèle ?

L'IHME décrit son modèle comme un outil pour aider les responsables gouvernementaux à comprendre comment différentes décisions politiques pourraient avoir un impact sur le cours de la pandémie et à planifier l'évolution de la demande de soins de santé.

Le modèle fait des projections de décès qui ont été très médiatisées et parfois critiquées. 10 Bien qu'une grande partie des critiques aient été adressées à une version précédente du modèle, connue sous le nom de 𠇌urveFit,” qui était utilisée avant l'ajout du composant SEIR le 4 mai. Les projections sont faites selon actuellement trois scénarios. 11

Sur la base du modèle, l'IHME publie des estimations des métriques suivantes :

  • Vraies infections (à ce jour et prévues)
  • Décès confirmés (projetés)
  • Demande d'hôpitaux, de soins intensifs et de ventilateurs (à ce jour et prévue)
  • Numéro de reproduction effectif, Rt (à ce jour et projeté)
  • Niveaux de test (projetés)
  • La mobilité, comme proxy de la distanciation sociale (projetée)
Sur quelles données le modèle est-il basé ?

Le modèle de décès utilise des données sur les cas confirmés, les décès confirmés, 12 et les tests. 13

Le modèle SEIR est ajusté à la sortie du modèle de décès en utilisant un IFR estimé pour recalculer le nombre réel d'infections.

Le modèle utilise plusieurs autres types de données pour simuler la transmission et la progression de la maladie : mobilité, politiques de distanciation sociale, densité de population, saisonnalité de la pneumonie et taux de mortalité, pollution de l'air, altitude, taux de tabagisme et contacts autodéclarés et utilisation du masque. Des détails sur les sources de ces données peuvent être trouvés sur les pages FAQ sur les modèles et mises à jour des estimations.

Quelles sont les hypothèses clés et les limites potentielles ?

Le modèle utilise un IFR estimé basé sur les données du bateau de croisière Diamond Princess et de la Nouvelle-Zélande. Bien que l'IHME ne donne pas de chiffres pour ceux-ci, l'IFR Diamond Princess a été estimé à 0,6% (intervalle d'incertitude à 95% de 0,2𠄱,3%). 14 Les différences entre les IFR estimés et réels pourraient avoir une incidence sur l'exactitude des estimations du modèle.

Le modèle de décès fait plusieurs hypothèses sur la relation entre les décès confirmés, les cas confirmés et les niveaux de test. Par exemple, qu'une diminution Cas taux de mortalité (CFR) – le ratio de confirmé décès à confirmé cas 15 – reflète une augmentation des tests et une évolution vers le dépistage des cas bénins ou asymptomatiques. Mais le CFR pourrait également diminuer pour d'autres raisons, telles qu'un traitement amélioré ou une baisse de l'âge moyen des personnes infectées.

Le modèle suppose que l'évolution de la transmission dans le temps est fonction de plusieurs entrées de données (énumérées ci-dessus), comme la mobilité et la densité de population. Si ces hypothèses ne tiennent pas – par exemple, parce que les données sont moins pertinentes ou que leur relation avec la transmission est mal spécifiée –, le modèle pourrait ne pas suivre avec précision la pandémie.

Plus de détails sont discutés dans les FAQ du modèle et dans différents rapports de mise à jour d'estimation.

Cliquez pour ouvrir la version interactive

Youyang Gu (YYG)

Modèle SEIR avec couche d'apprentissage automatique (détails au 23 août 2020)
Mise à jour : Youyang Gu a annoncé que le 5 octobre 2020 est la dernière mise à jour du modèle

Ce graphique montre les estimations du modèle YYG du nombre réel de nouvelles infections quotidiennes aux États-Unis. Pour voir les estimations pour d'autres pays, cliquez sur 𠇌hange country.” Les lignes intitulées “upper” et “lower” indiquent les limites d'un intervalle d'incertitude de 95 %. A titre de comparaison, le nombre de cas confirmés est également indiqué.

Site Internet
Régions couvertes

71 pays à travers le monde, y compris des données infranationales pour les États-Unis et le Canada

Temps couvert

La première date couverte varie selon les pays. Le modèle fait des projections qui s'étendent sur environ 90 jours après la dernière date de mise à jour.

Fréquence de mise à jour
Quel est le modèle ?

Le modèle se compose d'une base SEIR avec une couche d'apprentissage automatique au-dessus pour rechercher les paramètres qui minimisent l'erreur entre les estimations du modèle et les données observées.

A quoi sert le modèle ?

Youyang décrit son modèle comme faisant des projections des véritables infections et décès qui optimisent la précision des prévisions. Bien qu'il souligne également que ses projections couvrent une gamme de résultats possibles, et que les projections ne sont pas fausses si elles contribuent à façonner un résultat différent à l'avenir.

Sur la base du modèle, Youyang publie des estimations des métriques suivantes :

  • Vraies infections (à ce jour et prévues)
  • Décès confirmés (projetés)
  • Numéro de reproduction effectif, Rt (à ce jour et projeté)
  • Objectifs de tests par jour (projetés)

Le modèle ne se concentre pas sur les projections selon différents scénarios, mais a exploré ce qui se serait passé si les États-Unis avaient imposé la distanciation sociale une semaine plus tôt ou une semaine plus tard, ou si 20% des personnes infectées s'étaient immédiatement mises en quarantaine.

Sur quelles données le modèle est-il basé ?

Le modèle est ajusté aux données sur les décès confirmés 16 en utilisant un IFR estimé pour recalculer le nombre réel d'infections. Les cas confirmés et les données d'hospitalisation sont parfois utilisés pour définir les limites de la recherche des paramètres d'apprentissage automatique.

Quelles sont les hypothèses clés et les limites potentielles ?

Le modèle utilise un IFR estimé pour chaque région, basé initialement sur le CFR observé dans cette région. L'IFR est ensuite diminué 17 linéairement sur une période de trois mois jusqu'à ce qu'il atteigne 30 % de sa valeur initiale pour refléter l'âge moyen inférieur des infections et l'amélioration des traitements. Actuellement, l'IFR est estimé à 0,2𠄰,4% dans la plupart des États-Unis et en Europe. Les différences entre les IFR estimés et réels pourraient avoir une incidence sur l'exactitude des estimations du modèle.

Le modèle suppose qu'il y aura des décès non déclarés pendant les premières semaines d'une pandémie régionale, et que cette sous-déclaration diminuera jusqu'à ce que le nombre de décès confirmés soit égal aux vrais décès. Comme indiqué précédemment, ce n'est souvent pas le cas et le modèle peut donc sous-estimer le véritable fardeau de la santé.

Le modèle émet des hypothèses sur la façon dont la réouverture affectera la distanciation sociale et, en fin de compte, la transmission. Par exemple, si la réouverture provoque une résurgence des infections, le modèle suppose que les régions prendront des mesures pour réduire la transmission, ce qui est modélisé en limitant le Rt. Il suppose également une date de réouverture pour les régions (en particulier en dehors des États-Unis et de l'Europe) où la vraie date est inconnue.

Le modèle a été créé et optimisé pour les États-Unis. Ainsi, pour d'autres pays, les estimations du modèle pourraient être moins précises.

Pour une liste complète des hypothèses et des limitations, consultez la page modèle �out”.

Cliquez pour ouvrir la version interactive

London School of Hygiene & Tropical Medicine (LSHTM)

Modèle statistique estimant la sous-déclaration des infections (détails au 23 août 2020)

Ce graphique montre les estimations du modèle LSHTM du nombre réel de nouvelles infections quotidiennes aux États-Unis. Pour voir les estimations pour d'autres pays, cliquez sur 𠇌hange country.” Les lignes intitulées “upper” et “lower” indiquent les limites d'un intervalle d'incertitude de 95 %. A titre de comparaison, le nombre de cas confirmés est également indiqué.

Site Internet
Régions couvertes

159 pays et territoires à travers le monde (ceux avec au moins 10 décès confirmés sur un total de 210)

Temps couvert

La première date couverte varie selon les pays. Le modèle ne fait pas de projections.

Fréquence de mise à jour
Quel est le modèle ?

Le modèle commence par le CFR d'un pays et l'ajuste au fait qu'il y a un délai d'environ 2 semaines entre la confirmation du cas et le décès (ou le rétablissement). 18 Ce CFR ajusté au retard est ensuite comparé à un CFR de référence ajusté au retard pour estimer le ȁTaux de détermination” – la proportion de tous les symptomatique infections qui ont été effectivement confirmées. 19

Ce taux de constatation estimé est ensuite utilisé pour ajuster le nombre de cas confirmés 20 afin d'estimer le nombre réel d'infections symptomatiques. Pour enfin estimer le total infections, l'estimation des infections symptomatiques est ajustée pour inclure asymptomatique infections, qui sont estimées représenter entre 10�% (médiane 50%) des infections totales. 21

A quoi sert le modèle ?

LSHTM décrit son modèle comme un outil pour aider à comprendre le niveau de progression épidémique non détectée et pour faciliter la planification de la réponse, par exemple quand introduire et assouplir les mesures de contrôle.

Sur la base du modèle LSHTM publie des estimations du taux de vérification.

Sur quelles données le modèle est-il basé ?

Le modèle est basé sur des données sur les décès confirmés et les cas confirmés. 22

Quelles sont les hypothèses clés et les limites potentielles ?

Le modèle suppose un CFR de référence ajusté en fonction du retard de 1,4 % et que toute différence entre ce taux et le CFR ajusté en fonction du retard d'un pays est entièrement due à une sous-estimation. Mais de nombreux autres facteurs jouent probablement un rôle, tels que le fardeau sur le système de santé, les facteurs de risque de COVID-19 dans la population, l'âge des personnes infectées, etc.

Le CFR de référence supposé est basé sur des données provenant de Chine et ne tient pas compte des différentes distributions d'âge en dehors de la Chine. Cela entraîne une surestimation du taux de vérification dans les pays à population plus jeune et une sous-estimation dans les pays à population plus âgée. 23

Le modèle suppose que le nombre de décès confirmés est égal au nombre réel de décès. Comme indiqué précédemment, ce n'est souvent pas le cas et le modèle peut donc sous-estimer le véritable fardeau de la santé.

Les données sur les décès signalés sont parfois modifiées rétroactivement, ce qui peut être difficile pour le modèle et affecter ses estimations.

D'autres hypothèses et limites sont discutées dans le rapport complet.

Cliquez pour ouvrir la version interactive

Comment penser ces modèles et leurs estimations ?

Les quatre modèles que nous avons examinés conviennent que les véritables infections sont bien plus nombreuses que les cas confirmés, mais ils sont en désaccord de combien. Nous avons maintenant un aperçu de ces différences : les modèles diffèrent tous dans une certaine mesure par leur utilisation, leur fonctionnement, les données sur lesquelles ils sont basés et les hypothèses qu'ils formulent.

Rendre ces différences transparentes nous aide à comprendre comment nous devons penser à ces modèles et à leurs estimations. Par exemple, comprendre que certains modèles sont utilisés pour la planification de scénarios et non pour la prévision (comme ICL’s) tandis que d'autres sont optimisés pour la précision des prévisions (comme Youyang’s) met leurs estimations en contexte. Et les modèles font tous des hypothèses différentes selon lesquelles chacun a des limites, nous pouvons décider si ces limites sont pertinentes pour une situation donnée.

En fin de compte, cependant, nous voulons toujours avoir confiance que les modèles peuvent suivre la pandémie avec précision. Nous pouvons calibrer notre confiance dans différents modèles en donnant à leurs estimations un contrôle de la réalité.

Une façon de le faire est de comparer les estimations du modèle avec certaines données observées de la vérité sur le terrain. Par exemple, si un modèle prévoit le nombre de décès dans quatre semaines, nous pouvons attendre quatre semaines et comparer les prévisions aux décès qui se produisent réellement. 24

Mais parfois, la vérité sur le terrain n'est pas facile à observer, comme c'est le cas avec le nombre réel d'infections. Ici, il faut chercher preuves convergentes d'autres recherches, telles que des études de séroprévalence qui testent les anticorps COVID-19 dans le sérum sanguin pour estimer combien de personnes ont déjà été infectées. 25

En acquérant une compréhension plus approfondie et plus nuancée de ces modèles et de leurs forces et faiblesses, nous pouvons les utiliser comme des outils précieux pour aider à progresser contre la pandémie.

Notes de fin

La date de mise à jour de cette page ne correspond pas nécessairement à la date de mise à jour des estimations du modèle elles-mêmes. Pour les dates de mise à jour de l'estimation du modèle, voir les tableaux des modèles individuels ci-dessous. Consultez les sites Web des modèles pour les mises à jour les plus récentes.

Les personnes infectées peuvent ne pas être testées pour plusieurs raisons, telles que le fait de ne pas avoir facilement accès aux tests ou même de ne pas savoir qu'elles sont infectées car elles ne présentent aucun symptôme (bien qu'elles soient toujours capables de transmettre le virus). On estime que ces infections asymptomatiques représentent 10 à 70 % des infections totales. Source : Scénarios de planification en cas de pandémie du CDC COVID-19.

Il existe de nombreux modèles utilisés en plus de ces quatre, y compris d'autres par les groupes de recherche que nous couvrons ici. Nous avons choisi ces quatre modèles parce qu'ils sont importants, qu'ils ont été utilisés par les décideurs et qu'ils ont été régulièrement mis à jour. Nous les utilisons plus pour l'illustration que pour l'exhaustivité.

Prononcé en disant chaque lettre, "S-E-I-R."

Le modèle de la London School n'est pas un modèle SEIR.

Également appelé numéro de reproduction “variable dans le temps”.

Bien que les projections soient un aspect important de l'utilisation de ce modèle et de certains autres, nous ne les traitons pas dans cet article.

Tel que rapporté par le Centre européen de prévention et de contrôle des maladies (ECDC).

Le modèle suppose que dans les parcs, « les événements de contact importants sont négligeables » et qu'une « augmentation des déplacements résidentiels ne modifiera pas les contacts familiaux ».

Pour plus de détails sur les scénarios, consultez la FAQ du modèle.

Les cas confirmés et les données sur les décès rapportés par l'Université Johns Hopkins et plusieurs sources officielles.

Tel que rapporté par le COVID Tracking Project (pour les États-Unis), les sources officielles (Brésil et République dominicaine) et Our World in Data (tous les autres pays).

Russell et al (2020). Estimation du taux d'infection et de létalité pour la maladie à coronavirus (COVID-19) à l'aide des données ajustées sur l'âge de l'épidémie sur le bateau de croisière Diamond Princess. Eurosurveillance, 25(12). https://doi.org/10.2807/1560-7917.ES.2020.25.12.2000256

Le CFR est similaire à l'IFR mais utilise le confirmé décès et cas signalés par les pays. En revanche, l'IFR utilise de vrais décès et infections, qui ne sont généralement pas connus et doivent être estimés.

Tel que rapporté par l'Université Johns Hopkins. Les données sont lissées avant ajustement.

Sauf dans les « régions touchées plus tard comme l'Amérique latine, nous attendons 3 mois supplémentaires avant de commencer à diminuer l'IFR ».

Le calcul typique du CFR divise les décès confirmés par les cas confirmés signalé le même jour, mais ces décès ont en fait été causés par des cas confirmés environ 2 à 3 semaines auparavant.

Tous les cas confirmés, sauf un nombre insignifiant, sont supposés être symptomatiques.

Ces données sont d'abord lissées.

Conformément à cette méthodologie et en consultation avec les chercheurs du LSHTM, nous effectuons ces calculs pour produire les estimations des infections totales présentées ici.

Les deux tels que rapportés par l'ECDC.

Dans une analyse secondaire, les chercheurs du LSHTM ajustent le CFR de base pour différentes distributions d'âge. Mais cela a ses propres hypothèses et limites et n'est donc pas clairement une meilleure approche. Plus de détails peuvent être trouvés dans le rapport complet.

Bien que nous devions toujours considérer que de telles prévisions pourraient ne pas suivre ce qui se passe réellement si elles contribuent à façonner un résultat différent à l'avenir.

Certains efforts actuels pour évaluer l'exactitude des prévisions sont menés par Youyang Gu, IHME, The Zoltar Project et Covid Compare.

Les chercheurs du LSHTM, par exemple, ont comparé leurs estimations de modèle aux estimations de séroprévalence et ont trouvé un bon accord. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans leur rapport complet.

Réutilisez notre travail librement

Toutes les visualisations, données et codes produits par Our World in Data sont en libre accès sous la licence Creative Commons BY. Vous avez la permission d'utiliser, de distribuer et de reproduire ceux-ci sur n'importe quel support, à condition que la source et les auteurs soient crédités.

Les données produites par des tiers et mises à disposition par Our World in Data sont soumises aux conditions de licence des auteurs tiers d'origine. Nous indiquerons toujours la source d'origine des données dans notre documentation, vous devez donc toujours vérifier la licence de ces données tierces avant utilisation et redistribution.


Utiliser un autre paramétrage

La fonction optim vous permet de lire la toile de jute

La toile de jute peut être liée à la variance des paramètres (Dans R, étant donné une sortie d'optim avec une matrice de toile de jute, comment calculer les intervalles de confiance des paramètres à l'aide de la matrice de toile de jute ?). Mais notez que pour cela vous avez besoin du Hessian du log de vraisemblance qui n'est pas le même que le RSS (il diffère par un facteur, voir le code ci-dessous).

Sur cette base, vous pouvez voir que l'estimation de la variance de l'échantillon des paramètres est très grande (ce qui signifie que vos résultats/estimations ne sont pas très précis). Mais notez également que l'erreur est très corrélée. Cela signifie que vous pouvez modifier les paramètres de telle sorte que le résultat ne soit pas très corrélé. Voici quelques exemples de paramétrage :

telles que les anciennes équations (notez qu'une mise à l'échelle par 1/N est utilisée) :

ce qui est particulièrement intéressant puisque vous obtenez ce $I^prime approximatif = cI$ pour le début. Cela vous fera voir que vous estimez fondamentalement la première partie qui est approximativement une croissance exponentielle. Vous pourrez déterminer très précisément le paramètre de croissance, $c = eta - gamma$ . Cependant, $eta$ et $gamma$ , ou $R_0$ , peuvent ne pas être facilement déterminé.

Dans le code ci-dessous une simulation est faite avec la même valeur $c=eta - gamma$ mais avec des valeurs différentes pour $R_0 = eta / gamma$ . Vous pouvez voir que les données ne sont pas capables de nous permettre de différencier les différents scénarios (quels différents $R_0$ ) auxquels nous avons affaire (et nous aurions besoin de plus d'informations, par exemple les emplacements de chaque individu infecté et essayer de voir comment l'infection s'est propagée dehors).

Il est intéressant de noter que plusieurs articles prétendent déjà avoir des estimations raisonnables de $R_0$ . Par exemple cette préimpression Nouveau coronavirus 2019-nCoV : estimation précoce des paramètres épidémiologiques et prédictions épidémiques (https://doi.org/10.1101/2020.01.23.20018549)


Le modèle SEIR¶

Dans la version du modèle SEIR, tous les individus de la population sont supposés être dans un nombre fini d'états.

Les états sont : sensible (S), exposé (E), infecté (I) et retiré (R).

Ce type de modèle compartimenté a de nombreuses extensions (par exemple, SEIRS assouplit l'immunité à vie et permet des transitions de $ R à S $).

  • Ceux de l'état R ont été infectés et se sont rétablis ou sont décédés. Notez que dans certaines variantes, R peut se référer uniquement aux agents récupérés.
  • Ceux qui ont récupéré et vivent sont supposés avoir acquis l'immunité.
  • Les personnes du groupe exposé ne sont pas encore contagieuses.

Changements dans l'état infecté¶

Dans le modèle SEIR, le flux à travers les états suit le chemin $ S o E o I o R $.

Nous ignorerons les naissances et les décès non liés à la covid au cours de notre horizon temporel et supposerons un nombre important et constant d'individus de taille $ N $ tout au long.

Avec cela, les symboles $ S, E, I, R $ sont utilisés pour le nombre total d'individus dans chaque état à chaque instant, et $ S(t) + E(t) + I(t) + R( t) = N $ pour tout $ t $.

Puisque nous avons supposé que $ N $ est grand, nous pouvons utiliser une approximation continue pour le nombre d'individus dans chaque état.

Les transitions entre ces états sont régies par les taux suivants

  • $ eta(t) $ est appelé le taux de transmission ou taux de contact effectif (la vitesse à laquelle les individus se heurtent aux autres et les exposent au virus).
  • $ sigma $ est appelé le taux d'infection (le taux auquel ceux qui sont exposés deviennent infectés)
  • $ gamma $ est appelé le taux de récupération (le taux auquel les personnes infectées guérissent ou meurent)

Le taux $ eta(t) $ est influencé à la fois par les caractéristiques de la maladie (e.g. le type et la durée du contact prolongé requis pour une transmission) et par le comportement des individus (e.g. distanciation sociale, hygiène).

Le modèle SEIR peut alors s'écrire sous la forme

$ début frac & = - eta , S , frac frac & = eta , S , frac - sigma E frac & = sigma E - gamma I frac & = gamma I end ag <1>$

Ici, $ dy/dt $ représente la dérivée temporelle pour la variable particulière.

Le premier terme de (1), $ -eta , S , frac $, est le flux d'individus passant de $ S à E $, et met en évidence la dynamique sous-jacente de l'épidémie

  • Les individus dans l'état sensible (S) ont un taux $ eta(t) $ de contacts prolongés avec d'autres individus où la transmission se produirait si l'un ou l'autre était infecté
  • De ces contacts, une fraction $ frac$ sera avec des agents infectés (puisque nous avons supposé que les individus exposés ne sont pas encore infectieux)
  • Enfin, il y a $ S(t) $ individus sensibles.
  • Le signe indique que le produit de ces termes est le flux sortant de l'état $ S $ et un afflux vers l'état $ E $.

Numéro de reproduction de base¶

Si $ eta $ était constant, alors nous pourrions définir $ R_0 := eta / gamma $. C'est le fameux numéro de reproduction de base pour le modèle SEIR. Voir [HSW05] pour plus de détails.

Lorsque le taux de transmission varie dans le temps, nous suivrons la notation dans [FVJ20] et nous référerons à $ R_0(t) $ comme une version variable dans le temps du numéro de reproduction de base.

L'analyse du système en (1) fournit une intuition sur l'expression $ R_0(t) := eta(t) / gamma $ :

  • Les transitions individuelles de l'état infecté à l'état supprimé se produisent à un taux de Poisson $ gamma $, le temps prévu dans l'état infecté est de 1 $/gamma $
  • Les interactions prolongées se produisent au rythme de $ eta $, donc un nouvel individu entrant dans l'état infecté transmettra potentiellement le virus à une moyenne de $ R_0 = eta imes 1 / gamma $ autres
  • Dans les modèles plus compliqués, voir [HSW05] pour une définition formelle des modèles arbitraires, et une analyse sur le rôle de $ R_0 < 1 $.

Notez que la notation $ R_0 $ est standard dans la littérature épidémiologique - bien que déroutante, puisque $ R_0 $ n'est pas lié à $ R $, le symbole qui représente l'état supprimé. Pour le reste du cours, nous éviterons d'utiliser $ R $ pour l'état supprimé.

Avant de résoudre le modèle directement, nous apportons quelques modifications à (1)

  • Re-paramétrer en utilisant $ eta(t) = gamma R_0(t) $
  • Définissez la proportion d'individus dans chaque état comme $ s := S/N $ etc.
  • Divisez chaque équation en (1) par $ N $, et écrivez le système d'EDO en termes de proportions

$ début frac & = - gamma , R_0 , s , i frac & = gamma , R_0 , s , i - sigma e frac & = sigma e - gamma i frac & = gamma i end ag <2>$

Puisque les états forment une partition, nous pourrions reconstruire la fraction « retirée » de la population sous la forme $ r = 1 - s - e - i $. Cependant, le garder dans le système rendra le traçage plus pratique.

Mise en œuvre¶

Nous commençons par implémenter une version simple de ce modèle avec une constante $ R_0 $ et quelques valeurs de paramètres de base (dont nous parlerons plus tard).

Tout d'abord, définir le système d'équations

Étant donné ce système, nous choisissons une condition initiale et un intervalle de temps, et créons un ODProblem encapsulant le système.

Avec cela, choisissez un algorithme ODE et résolvez le problème de la valeur initiale. Un bon algorithme par défaut pour les ODE non rigides de ce type pourrait être Tsit5() , qui est la méthode Tsitouras 5/4 Runge-Kutta).

Nous n'avons fourni ni un ensemble de pas de temps ni une taille de pas de temps dt pour la résolution. Les solveurs ODE les plus précis et les plus performants adaptés à ce problème utilisent un pas de temps adaptatif, modifiant la taille du pas en fonction du degré de courbure des dérivées.

Ou, comme visualisation alternative, les proportions dans chaque état au fil du temps

Tout en maintenant le système de base des EDO en $ (s, e, i, r) $, nous étendrons le modèle de base pour permettre des expériences politiques et des calculs de valeurs agrégées.

Extension du modèle¶

Premièrement, nous pouvons considérer certains calculs supplémentaires tels que le nombre de cas cumulé (c'est-à-dire tous ceux qui ont ou ont eu l'infection) comme $ c = i + r $. Différencier cette expression et la substituer aux dérivées temporelles de $ i(t) $ et $ r(t) $ donne $ frac = sigma e $.

Nous supposerons que le taux de transmission suit un processus avec un retour à une valeur $ ar_0(t) $ qui pourrait éventuellement être influencé par la politique. L'intuition est que même si le $ ar ciblé_0(t) $ a été modifié en raison de la distanciation sociale/etc., des retards de comportement et de mise en œuvre faciliteraient la transition, où $ eta $ régit la vitesse de $ R_0(t) $ se déplace vers $ ar_0(t) $.

Enfin, soit $ delta $ le taux de mortalité, que nous laisserons constant. Les décès cumulés peuvent être intégrés via le flux $ gamma i $ entrant dans l'état « Supprimé ».

Définissez le nombre cumulé de décès comme $ D(t) $ avec la proportion $ d(t) := D(t)/N $.

Alors que nous pourrions intégrer les décès étant donné la solution au modèle ex-post, il est plus pratique d'utiliser l'intégrateur intégré au solveur ODE. C'est-à-dire que nous ajoutons $ frac

d(t) $ plutôt que de calculer $ d(t) = int_0^t delta gamma, i( au) d au $ ex-post.

C'est une astuce courante lors de la résolution de systèmes d'EDO. Bien qu'équivalent en principe à l'utilisation du schéma de quadrature approprié, cela devient particulièrement pratique lorsque des algorithmes temporels adaptatifs sont utilisés pour résoudre les EDO (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de grille temporelle régulière). Notez que ce faisant, $ d(0) = int_0^0 delta gamma i( au) d au = 0 $ est la condition initiale.

Le système (2) et les équations supplémentaires peuvent être écrits sous forme vectorielle $ x := [s, e, i, r, R₀, c, d] $ avec le tuple de paramètre $ p := (sigma, gamma, eta, delta, ar_0(cdot)) $

Notez que dans ces paramètres, le numéro de reproduction ciblé, $ ar_0(t) $, est une fonction exogène.

Le modèle est alors $ frac = F(x,t) $ où,

$ F(x,t) := egin -gamma , R_0 , s , i gamma , R_0 , s , i - sigma e sigma , e - gamma i gamma i eta ( ar_0(t) - R_0) sigma e delta , gamma , i end ag <5>$

Notez que si $ ar_0(t) $ est invariant dans le temps, alors $ F(x, t) $ est également invariant dans le temps.

Paramètres¶

Les paramètres $ sigma, delta, $ et $ gamma $ doivent être considérés comme des paramètres déterminés par la biologie et la technologie médicale, et indépendants des interactions sociales.

Comme dans la note d'Atkeson, on pose

  • $ sigma = 1/5,2 $ pour refléter une période d'incubation moyenne de 5,2 jours.
  • $ gamma = 1/18 $ pour correspondre à une durée moyenne de maladie de 18 jours.
  • $ ar_0(t) = R_0(0) = 1,6 $ pour correspondre à un numéro de reproduction de base de 1,6, et initialement invariant dans le temps
  • $ delta = 0,01 $ pour un taux de mortalité de 1 %

Comme nous considérerons dans un premier temps le cas où $ R_0(0) = ar_0(0) $, le paramètre $ eta $ n'influencera pas la première expérience.


Modèle d'épidémie SIR pour la grippe A (H1N1) : modélisation de l'épidémie de la pandémie à Kolkata, Bengale occidental, Inde, 2010

Ce travail est sous licence Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Dans ce rapport, la propagation de la grippe pandémique A (H1N1) qui a eu une épidémie à Kolkata, au Bengale occidental, en Inde, en 2010 va être simulée. Les bases modèle SIR épidémique sera utilisé, il décrit trois populations : une sensible population, une infecté population, et un rétabli population et suppose que la population totale (somme de ces 3 populations) est fixée sur la période d'étude.

Il y a deux paramètres pour ce modèle : à savoir le taux d'attaque (??) par personne infectée par jour à travers les contacts et le taux de guérison (??). Au départ, il y aura un petit nombre de personnes infectées dans la population. Maintenant, les questions suivantes doivent être résolues avec la simulation / l'analyse :

1. Si le nombre de personnes infectées augmente considérablement, produisant une épidémie, ou si la grippe s'éteint.
2. En supposant qu'il y ait une épidémie, comment cela se terminera-t-il ? Restera-t-il encore des susceptibles quand ce sera fini ?
3. Combien de temps durera l'épidémie ?

Les La méthode d'Euler sera principalement utilisé pour résoudre le système d'équations différentielles pour le modèle SIR et calculer le points d'équilibre (avec quelques
tentatives de résolution analytique pour quelques cas particuliers simplifiés). Voici les
conclusions tirées des simulations :

1. Quand le taux de récupération ?? est ≈ 0 ou très très faible par rapport au taux d'attaque ??, la grippe se révélera être une épidémie et toute la population sera infectée en premier (plus ?? est plus rapide l'épidémie).

2. Pour être plus précis, lorsque la population sensible initiale S(0) est supérieur à l'inverse du nombre de reproduction de base 1/ R0 = / β, une épidémie appropriée va éclater.

3. Quand la population sensible initiale S(0) est inférieur à l'inverse du nombre de reproduction de base 1/R0=α/β, puis un épidémie appropriée volonté jamais éclater.

4. Si la population sensible initiale n'est pas nulle, à la fin (à l'équilibre), il y aura toujours une population sensible.

5. Lorsqu'il y a une épidémie, elle finira par atteindre le point d'équilibre avec 0 population infectée, la vitesse à laquelle elle atteint l'équilibre dépend du taux de récupération (plus α est élevé, plus l'élimination de l'infection est rapide).

6. Le temps pour atteindre l'équilibre peut être calculé à l'aide de la méthode d'Euler, il dépend des paramètres α (plus le plus vite est élevé) et β (plus le plus vite est élevé) et de la taille initiale du peuplement infecté I(0) (plus le ).

En 2010, la pandémie de grippe A (H1N1) a éclaté à Kolkata, au Bengale occidental, en Inde. Un nombre accru de cas de syndrome grippal (SG) ont été signalés dans la région métropolitaine du Grand Kolkata (GKMA) en juillet et août 2010, comme indiqué dans [3]. La motivation principale de ce projet de recherche sera de comprendre la propagation de la pandémie, de calculer les points d'équilibre et de trouver l'impact des valeurs initiales du taux d'infection et des paramètres de taux d'attaque/récupération sur la propagation de l'épidémie, à l'aide de simulations utilisant le modèle SIR épidémique de base.

La méthode d'Euler sera principalement utilisée pour résoudre le système d'équations différentielles
pour le modèle SIR et calculer les points d'équilibre. Tout d'abord, quelques cas particuliers simplifiés seront considérés et des méthodes analytiques et numériques (avec la méthode d'Euler) seront utilisées pour calculer les points d'équilibre. Ensuite, la solution pour le modèle générique sera trouvée. Comme décrit dans [6], le modèle SIR peut également être utilisé efficacement (dans un
contexte) pour modéliser la propagation de virus informatiques dans les réseaux informatiques, en particulier pour les réseaux à topologie à graphes aléatoires de type Erdos-Renyi.

Modèle d'épidémie SIR

Le modèle SIR est un modèle épidémiologique qui calcule le nombre théorique de personnes infectées par une maladie contagieuse dans une population fermée au fil du temps. L'un des modèles SIR à une souche de base est Modèle Kermack-McKendrick. Le modèle Kermack-McKendrick est utilisé pour expliquer l'augmentation et la diminution rapides du nombre de patients infectieux observés dans les épidémies. Il suppose que la taille de la population est fixe (c.
est instantanée, et la durée de l'infectiosité est la même que la durée de la maladie. Il suppose également une population complètement homogène sans âge, structure spatiale ou sociale.

La figure 2.1 suivante montre une image au microscope électronique du réassortiment H1N1virus de la grippe photographié au CDC Influenza Laboratory. Les virus ont un diamètre de 80 à 120 nm [1].

2.1 Modèle mathématique de base

Le modèle de départ d'une épidémie est le modèle dit SIR, où S signifie population sensible, les personnes qui peuvent être infectées. je est la population déjà infectée, les personnes contagieuses et R signifie la population récupérée, des gens qui ne sont plus contagieux.

2.1.1 Équations différentielles

Les modèle SIR peut être défini à l'aide des équations différentielles ordinaires 2.1 suivantes :

• Les termes dS/dt , dI/dt , dR/dt dans les équations différentielles indiquent le taux de changement de la taille de la population sensible, la taille de la population infectée et la taille de la population récupérée, respectivement.

• Les termes ?? et ?? indiquent respectivement le taux d'attaque (nombre de personnes sensibles infectées par jour) et le taux de guérison de la grippe (inverse du nombre de jours pendant lesquels une personne reste infectée).

• Valeur élevée de ?? signifie qu'une personne sera infectée par la grippe pendant moins de jours et une valeur élevée de ?? signifie que l'épidémie se propagera rapidement.

• En outre, comme on peut le voir ci-dessous, à partir des équations différentielles, il peut être montré que la population (S + I + R) est supposé constant.

2.1.2 Données, unités et valeurs collectées pour les constantes

• Comme le montre la figure 2.2 suivante, l'objectif de cette analyse sera limité à la population de la zone de la Kolkata Metropolitan Corporation (KMC, XII) où la population peut être supposée être de ≈ 4,5 millions ou 4 500 milliers, selon [ 7].

Unités

– Toutes les unités de population (S, I, R) seront en milliers de personnes (de sorte que la population totale
N = 4500).
– Comme on peut le déduire des équations différentielles 2.1, l'unité de sera en
10^(−6) /personnes/jour (β = 25 signifie que 25 personnes sur un million sont infectées par
contact sensible-infecté par personne infectée par jour).
– De même, les unités de α seront en 10^(−3) / jour (α = 167 signifiera 167 × 10^(−3) /
jour se remet de la grippe par jour).

• Le taux d'attaque est de 20-29/100000 et le nombre de jours infectés (c'est-à-dire l'inverse du taux de guérison) = 5-7 jours en moyenne (à quelques exceptions près), selon [3].

• Les valeurs typiques pour β et peuvent être supposées être 25 /personne / jour et 10^3/6 167 / jour, respectivement.

2.2 Modèle simplifié 1 (avec α = 0)

• Dans un premier temps, un modèle simplifié est créé en supposant que = 0 (/jour) et que R = 0, donc une fois infectée, une personne reste contagieuse pour toujours. Étant donné que S(t) + I(t) + R(t) = S(t) + I(t) = N est constant (puisque la taille de la population N est fixe), S(t) peut être éliminé et une seule équation différentielle en juste I(t) est obtenu comme le montre l'équation ci-dessous 2.2.

• Soit également la taille (fixe) de la population N = 4500 = S(0) + I(0), (en milliers de personnes), initialement le nombre de personnes infectées = I(0) = 1 (en milliers de personnes) et le nombre de personnes sensibles S(0) = N −I(0) = 4499 (en milliers de personnes), respectivement. Soit β = 25 × 10^(−6) /personnes / jour) pour commencer.

2.2.1 Solution analytique

• La solution analytique peut être trouvée en suivant les étapes indiquées dans l'annexe A et la solution finale est indiquée dans les équations 2.3 ci-dessous :


• La figure 2.3 suivante montre la croissance logistique (limitée) de I(t) (en milliers de personnes) par rapport à le temps (en jours) pour différentes valeurs de taux d'attaque β×10^(−6) (/personne/jour). Comme prévu, plus le taux d'attaque est élevé, plus rapidement toutes les personnes de la population sont infectées.

2.2.2 Trouver les points d'équilibre pour I

• Les points d'équilibre sont les points où le taux de variation de I est nul, les points qui satisfont à l'équation suivante

biol-2022/8175/image_5A02OYot2iOV6hgJA.png?w=150&h=86 150w" tailles="(max-width: 236px) 100vw, 236px" />

• Considérant un petit voisinage du point d'équilibre à I = 0, on peut voir sur la figure 2.4 que chaque fois que I > 0, dI/dt > 0, donc I augmente et s'éloigne du point d'équilibre.

• Par conséquent, le point d'équilibre à I = 0 est instable.

• A I = N = 4500 (en milliers de personnes) c'est un équilibre stable. Comme on peut le voir sur la figure 2.4 suivante, dans un petit voisinage du point d'équilibre à I = 4500, il augmente / diminue toujours vers le point d'équilibre.

• Dans un petit quartier ε > 0 à I = 4500 (en milliers de personnes),

1. dI/dt > 0, donc I augmente quand I <= 4500 − ε .
2. dI/dt > 0, donc je diminue quand je >= 4500 + ε .

• La même chose peut être observée à partir des champs de direction de la figure 2.5.

• Par conséquent, l'équilibre à I = 4500 est stable.

2.2.3 Solution numérique avec la méthode d'Euler

• L'algorithme (tiré des diapositives du cours) présenté dans la figure 2.6 suivante sera utilisé pour le calcul numérique de la solution (d'équilibre) en utilisant la méthode d'Euler.

• Comme le montre la figure 2.6, l'infection au pas de temps suivant peut être approchée (linéairement) (de manière itérative) par la somme du pas de temps actuel de l'infection avec le produit de la différence de pas de temps et de la dérivée de l'infection évaluée au pas de temps actuel.

2.2.3.1 Trouver la bonne taille de pas (avec β = 25 × 10^(−6)/personne/jour)

• Afin de décider de la meilleure taille de pas pour la méthode d'Euler, la méthode d'Euler est d'abord exécutée avec différentes tailles de pas, comme le montre la figure 2.7.

• Comme le montrent le tableau 2.1 suivant et la figure 2.7, les plus grandes différences dans la valeur de I (avec deux pas consécutifs) se produisent autour de 78 jours :


• Comme on peut le voir dans le tableau de l'annexe B, la première fois où l'erreur devient inférieure à 1 personne (en milliers) est avec la taille du pas 1/512 , c'est pourquoi cette taille de pas sera utilisée pour la méthode d'Euler.

2.2.3.2 Calcul du point d'équilibre (stable)

• Maintenant, ce pas de temps sera utilisé pour résoudre le problème pour trouver le temps d'équilibre teq(en jours). Trouve teq tel que N − I(teq) < ε = 10^(−6) , la solution obtenue est teq = 272,33398 jours ≈ 273 jours.

• Maintenant, à partir de la solution analytique 2.3 et de la figure 2.8 suivante, on peut vérifier que la solution teq obtenue par la méthode d'Euler est assez précise (à la tolérance ε).

2.2.3.3 Résultats avec β = 29 × 10^(−6) / personne / jour, I(0) = 1 personne

• En suivant les mêmes itérations que ci-dessus, l'erreur la plus forte est obtenue à t = 67 jours dans ce cas, comme le montre la figure 2.9.

• La première fois où l'erreur devient inférieure à une personne pendant t = 67 jours avec la méthode d'Euler est avec la taille du pas 1/512 de nouveau.

• La solution obtenue est teq = 234.76953125 jours ≈ 235 jours, donc l'équilibre (lorsque toute la population est infectée) est obtenu plus tôt comme prévu, puisque le taux d'attaque est plus élevé.

2.2.3.4 Résultats avec β = 25 × 10−6 / personne / jour, avec différents valeurs initiales pour les personnes infectées (I(0))

• En suivant les mêmes itérations que ci-dessus, le point d'équilibre est calculé en utilisant la méthode d'Euler avec différentes valeurs de population infectée initiale I(0), comme le montre la figure 2.10.

• Les solutions obtenues sont teq = 272,33, 258,02, 251,85, 248,23, 245,66, 245,66 jours pour I(0) = 1, 5, 10, 15, 20 jours, respectivement. Ainsi, l'équilibre est obtenu plus tôt lorsque la taille initiale de la population infectée est plus élevée, comme prévu.

2.3 Modèle simplifié 2 (avec β = 0)

• Ensuite, un autre modèle simplifié est considéré en supposant que β = 0 et que α > 0, de sorte que la grippe ne peut plus infecter personne (susceptible, le cas échéant, peut-être parce que tout le monde a été infecté), une personne infectée se remet de la grippe avec le taux . Cette situation peut être décrite à nouveau avec une seule équation différentielle en I(t) comme le montre l'équation ci-dessous 2.4.

biol-2022/8175/image_v25E7ScR9do2T4xDhL.png?w=150&h=30 150w" tailles="(largeur max : 351px) 100vw, 351px" />

• Soit aussi l'ensemble de la population infectée, N = 4500 = I(0), (en milliers de personnes), initialement le nombre de personnes sensibles = S(0) = 0, respectivement. Soit α = 167 × 10^(−3)
(/jour) pour commencer.

2.3.1 Solution analytique

• La solution analytique peut être trouvée en suivant les étapes indiquées dans les équations 2.5 ci-dessous :

• La figure 2.11 suivante montre la décroissance exponentielle de I(t) (en milliers de personnes) par rapport à le temps (en jours) pour différentes valeurs de taux de récupération α × 10^(−3) (/ jour). Comme prévu, plus le taux de guérison est élevé, plus toutes les personnes de la population se débarrassent rapidement de l'infection.

• Maintenant, I(t) + R(t) = N (puisque S(t) = 0 pour toujours, puisqu'il n'y a plus d'infection) et I(0) = N, en se combinant avec la solution analytique ci-dessus I(t) = I(0).exp(−αt) = N.exp(−αt), on obtient l'équation suivante :

• La figure 2.12 suivante montre la croissance de R(t) (en milliers de personnes) par rapport à le temps (en jours) pour différentes valeurs de taux de récupération α × 10^(−3) (/ jour). Comme prévu, plus le taux de récupération est élevé, plus toutes les personnes de la population passent rapidement à l'état retiré.

2.3.2 Solution numérique avec la méthode d'Euler

2.3.2.1 Solution avec α = 167 × 10−3 / jour

• En suivant les mêmes itérations que ci-dessus, l'erreur la plus forte est obtenue à t = 6 dans ce cas, comme le montre la figure 2.16.

• La première fois où l'erreur devient inférieure à une personne pour t = 67 avec la méthode d'Euler est avec la taille du pas 1/256 .

• La solution obtenue avec la méthode d'Euler est de 133.076171875 jours ≈ 133 jours pour éliminer l'infection de la population avec une tolérance de 10^(−6). De la solution analytique,
I(133) = N.exp(−αt) = 1.016478E−06, un résultat similaire est obtenu.

2.3.2.2 Résultats

La figure 2.16 suivante montre les solutions obtenues avec différentes tailles de pas en utilisant la méthode d'Euler.

2.4 Modèle générique (avec α, β > 0)

Tout d'abord, la solution numérique sera tentée pour le modèle générique (en utilisant la méthode d'Euler), puis des informations analytiques seront dérivées pour le modèle générique.

2.4.1 Solution numérique avec la méthode d'Euler

• L'algorithme suivant 2.14 montré dans la figure suivante va être utilisé pour obtenir la solution en utilisant la méthode d'Euler (le programme de base pour la méthode d'Euler, adapté pour inclure trois variables dépendantes et trois équations différentielles).

• Comme on peut le voir sur la figure 2.14, le vecteur X(0) est d'abord formé en combinant les trois variables S, I, R au pas de temps 0. Ensuite, la valeur du vecteur au pas de temps suivant peut être approchée (linéairement) (de manière itérative ) par la sommation (vecteur) de la valeur vectorielle au pas de temps courant avec le produit de la différence de pas de temps et de la dérivée du
vecteur évalué au pas de temps courant.

2.4.1.1 Points d'équilibre

• Au point d'équilibre,

Il n'y aura pas de personne infectée au point d'équilibre (l'infection doit être éliminée).

• Comme le montre également la figure 2.15 suivante, je = 0 est un équilibre point, ce qui est tout à fait attendu, car à l'équilibre toute la population infectée passera à l'état retiré.

• Aussi, en tout point l'invariant S + I + R = N tient.

• Dans ce cas particulier illustré à la figure 2.15, la population sensible S devient également 0 à l'équilibre (puisque toute la population a été infectée initialement, toutes doivent passer à l'état retiré) et R = N = 4500 (en milliers de personnes).

2.4.1.2 Résultats avec la méthode d'Euler

• Comme expliqué dans les sections précédentes, la même méthode itérative consiste à trouver la bonne taille de pas pour la méthode d'Euler. Le minimum des deux pas déterminés est
t = 1/512 jour et encore une fois ce pas va être utilisé pour la méthode d'Euler.

• Les figures suivantes montrent les solutions obtenues avec différentes valeurs de α, β avec la taille initiale de la population infectée I(0) = 1 (en milliers de personnes). Des valeurs plus élevées pour le paramètre β obtenues à partir de la littérature sont utilisées pour la simulation, puisque β = 25 × 10^(−6) /personne /jour est trop petit (avec des résultats peu intéressants) pour la croissance de l'épidémie en utilisant la méthode d'Euler (au moins jusqu'à ∆t = 1/2^15), après quoi l'itération d'Euler
méthode devient très lente).

• Comme on peut le voir, d'après les figures 2.16, 2.17 et 2.19, à l'équilibre, I devient nul.

• La solution (nombre de jours pour atteindre l'équilibre) obtenue à α = 167×10^(−3) /jour et β = 25×10^(−5) /personne /jour est teq = 143,35546875 ≈ 144 jours avec I(0) = 1 (en milliers de personnes), le chiffre correspondant est la figure 2.16.

• La solution (nombre de jours pour atteindre l'équilibre) obtenue à α = 167 × 10^(−3) /jour et β = 5 × 10^(−5) /personne /jour est teq ≈ 542 jours avec I(0) = 1 (en milliers de personnes), le chiffre correspondant est la figure 2.17.

• Ainsi, plus la valeur est élevée, l'équilibre est atteint beaucoup plus tôt.

• La solution obtenue à α = 500 × 10^(−3) /jour et β = 25 × 10^(−5) /personne /jour est
teq ≈ 78 jours avec I(0) = 1 (en milliers de personnes), le chiffre correspondant est la figure 2.19.

• Ainsi, plus la valeur α est élevée, plus l'équilibre est atteint plus tôt.

• La solution obtenue à α = 167×10^(−3) /jour et β = 25×10^(−5) /personne /jour est
teq = 140 jours avec I(0) = 10. Ainsi, comme prévu, plus le nombre de population infectée initiale est grande, plus vite l'équilibre est atteint.

• À l'équilibre, S ne devient pas nécessairement proche de zéro, car parfois la population entière peut ne jamais être infectée, comme le montre la figure 2.17, où à l'équilibre la population sensible n'est pas nulle.

• Comme on peut le voir sur les plans de phase de la figure 2.21, à l'équilibre, la population infectée devient 0.

2.4.2 Solution analytique et informations

2.4.2.1 Numéro de reproduction de base (R0)

Les numéro de reproduction de base (également appelé taux de reproduction de base) est défini par
R0 = / α (l'unité est /jour). Comme expliqué dans [2], ce rapport est dérivé du nombre attendu de nouvelles infections (ces nouvelles infections sont parfois appelées infections secondaires) à partir d'une seule infection dans une population où tous les sujets sont sensibles. Nous discuterons ensuite de la façon dont la dynamique du système dépend de R0.

2.4.2.2 La dynamique du système en fonction de R0

• En divisant la première équation par la troisième dans 2.1, comme fait dans [2], on obtient l'équation suivante :

• Maintenant, à t → ∞, l'équilibre doit déjà avoir été atteint et toutes les infections doivent avoir été supprimées, de sorte que limite (t→∞) I(t) = 0.

• Ensuite, à partir de l'équation 2.7 ci-dessus, R∞ = N − S(0).exp(R0.(R∞−R(0)))
.
• Comme expliqué dans [2], l'équation ci-dessus montre qu'à la fin d'une épidémie, à moins
S(0) = 0, tous les individus de la population ne se sont pas rétablis, donc certains doivent rester sensibles.

• Cela signifie que la fin d'une épidémie est due à la baisse du nombre d'individus infectés plutôt qu'à un manque absolu de sujets sensibles [2].

• Le rôle du numéro de reproduction de base est extrêmement important, comme expliqué dans [2]. A partir de l'équation différentielle, on obtient l'équation suivante :

S(t) > 1/R0dI(t)/dt > 0 il y aura un épidémie appropriée avec une augmentation du nombre d'infectieux (qui peut atteindre une fraction considérable de la population).

S(t) < 1 R0 dI(t) dt < 0 ⇒ indépendamment de la taille initiale de la population sensible, la maladie ne peut jamais provoquer un véritable foyer épidémique.

• Comme on peut le voir sur les figures 2.21 et 2.22 suivantes (à partir des résultats de simulation obtenus avec la méthode d'Euler), lorsque S(0) > 1/R0 , il y a un pic dans la courbe d'infection, indiquant une épidémie appropriée.

• Aussi, d'après les figures 2.21 et 2.22, lorsque S(0) > 1/R0 , plus l'écart entre S(0) et 1/R0 , plus le pic est élevé (plus de personnes sont infectées) et plus le pic est atteint rapidement.

• Encore une fois, à partir de la figure 2.22, lorsque 4490 = S(0) < 1/R0 = 5000, cela ne provoque jamais une véritable épidémie épidémique .

biol-2022/8175/image_dx5xCoM76ghoZ2XN.png?w=197&h. 197w" size="(max-width : 619px) 100vw, 619px" />

• Encore une fois, en divisant la deuxième équation par la première en 2.1, on obtient l'équation suivante :

• Comme on peut le remarquer sur la figure 2.23 ci-dessus, parce que les formules ne diffèrent que par une constante additive, ces courbes sont toutes des translations verticales les unes des autres.

• La droite I(t) = 0 est constituée de points d'équilibre.

• Commençant à un point sur l'une de ces courbes avec I(t) > 0, au fur et à mesure que le temps passe, il faut parcourir la courbe vers la gauche (parce que dS/dt < 0), pour finalement se rapprocher d'une valeur positive de S (t).

• Cela doit se produire puisque sur n'importe laquelle de ces courbes, comme I(t) → ∞, comme S(t) → 0, d'après l'équation 2.8.

• Ainsi, la réponse à la question (2) est que l'épidémie se terminera en approchant d'une valeur positive et qu'il doit donc toujours rester des sujets susceptibles.

• Comme on peut le voir sur la figure 2.24 suivante (à partir des résultats de simulation obtenus avec la méthode d'Euler), lorsque S(0) > 1/R0 , moins l'écart entre S(0) et 1/R0 , plus la population est élevée reste sensible à l'équilibre (ou à t → ∞).

Conclusion

Dans ce rapport, la propagation de la grippe pandémique A (H1N1) qui a éclaté à Kolkata, au Bengale occidental, en Inde, en 2010 a été simulée à l'aide du modèle SIR épidémique de base. Initialement, il y aura un petit nombre de personnes infectées dans la population, la plupart de la population avait des personnes sensibles (toujours non infectées mais sujettes à l'infection) et aucune personne retirée. Compte tenu des valeurs initiales des variables et des valeurs des paramètres (taux d'attaque et de récupération de la grippe), les questions suivantes ont été tentées d'être répondues avec la simulation / l'analyse :

1. Si le nombre de personnes infectées augmente considérablement, produisant une épidémie, ou si la grippe s'éteint.

2. En supposant qu'il y ait une épidémie, comment cela se terminera-t-il ? Restera-t-il encore des susceptibles quand ce sera fini ?

3. Combien de temps durera l'épidémie ?
Les conclusions suivantes sont obtenues après avoir exécuté les simulations avec
différentes valeurs des paramètres et les valeurs initiales des variables :

1. Lorsque le taux de guérison α est ≈ 0 ou très très faible par rapport au taux d'attaque β (de sorte que R0 = β / α >> 1) et I(0) > 1, la grippe se révélera être une épidémie et le toute la population sera infectée en premier (plus β est élevé, plus l'épidémie se déclare rapidement).

2. Pour être plus précis, lorsque la population sensible initiale S(0) est supérieure à l'inverse du nombre de reproduction de base 1/R0 = / β, une véritable épidémie éclatera.

3. Lorsque la population sensible initiale S(0) est inférieure à l'inverse du nombre de reproduction de base 1/R0 = /β, alors une véritable épidémie n'éclatera jamais.

4. Si la population sensible initiale n'est pas nulle, à la fin (à l'équilibre), il y aura toujours une population sensible.

5. Lorsqu'il y a une épidémie, elle finira par atteindre le point d'équilibre avec 0 population infectée, la vitesse à laquelle elle atteint l'équilibre dépend du taux de récupération (plus α est élevé, plus l'élimination de l'infection est rapide).

6. Le temps pour atteindre l'équilibre peut être calculé à l'aide de la méthode d'Euler, il dépend des paramètres α (plus le plus vite est élevé) et β (plus le plus vite est élevé) et de la taille initiale du peuplement infecté I(0) (plus le ).

7. Portée d'amélioration : Le modèle SIR pourrait être étendu au modèle endémique classique [5] où les taux de natalité et de mortalité sont également pris en compte pour la population (cela sera particulièrement utile lorsqu'une maladie met longtemps à atteindre l'équilibre Etat).

biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=137 137w, biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=274 274w" tailles="(max-width: 669px) 100vw, 669px" />