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Quelle est exactement la constante de temps d'une porte de canal ionique ?

Quelle est exactement la constante de temps d'une porte de canal ionique ?


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Prenons un canal qui ne se désactive pas, mais qui n'est qu'à l'état ouvert et fermé. Je comprends ce que m (variable d'activation) représente. C'est la fraction des portes ouvertes.

Mais que représente $ au$ (tau) , la constante de temps ? Cela signifie-t-il le temps pris pour ouvrir la porte? Si tau est plus élevé, cela signifie-t-il plus de temps pour ouvrir la porte ?

Je suis un peu confus.


Bien que la constante de temps membranaire soit très importante en neurosciences, la constante de temps décrite dans la question initiale concerne porte de canal ionique plutôt que le taux de variation de la tension membranaire.

Le "tau" lorsqu'il se réfère à la gâchette de canal ionique fait en effet référence au temps qu'il faut pour s'ouvrir/se fermer.

Lorsque la tension de la membrane change, il existe une nouvelle valeur d'équilibre pour la probabilité que le canal soit ouvert par rapport à fermé (remarque : il peut également y avoir d'autres états pour les canaux, mais pour cette explication, je m'en tiendrai à ouvert/fermé). Les vitesse à laquelle cet équilibre est approché de la probabilité ouverte précédente est décrite par une fonction exponentielle, avec "tau" comme constante de temps de cette approche. Une petite valeur de tau signifie que le nouvel équilibre est atteint très rapidement. Ce site a une bonne explication de la terminologie et du processus de blocage, comme beaucoup d'autres.

Les constantes de temps sont impliquées dans tout système décrit par une exponentielle (c'est ce qu'on appelle des processus "invariants linéaires dans le temps"), qu'elle diminue ou augmente, et elle est égale au temps qu'il faut pour progresser d'environ 63,2 % jusqu'à l'équilibre. Ce qui est cool avec les constantes de temps (et les processus linéaires invariants dans le temps en général), c'est que peu importe votre point de départ ou l'avancement du processus, la constante de temps reste constant et chaque fois que « tau » passe, vous êtes maintenant 63,2 % plus près de l'équilibre qu'au temps t-tau.


D'après Wikipédia

En physique et en ingénierie, le la constante de temps, généralement désigné par la lettre grecque τ (tau), est le paramètre caractérisant la réponse à une entrée échelonnée d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) du premier ordre.

En Neurosciences :

La constante de temps, $ au$, caractérise la rapidité avec laquelle le flux de courant modifie le potentiel membranaire. $ au$ est calculé comme :

$$ au = r_mc_m$$

où r$_m$ et c$_m$ sont respectivement la résistance et la capacité de la membrane plasmique.

  • Les la résistance à travers la membrane est fonction du nombre de canaux ioniques ouverts et la capacité est fonction des propriétés de la bicouche lipidique

Remarque : la constante de temps est une « propriété passive » des membranes car ce sont des propriétés intrinsèques de toutes les membranes biologiques. [La source].

Je suppose que vous faites référence à une référence d'équation du modèle Hodgkin-Huxley pour la génération de potentiels d'action, mais sans plus d'informations sur votre équation spécifique, je ne peux pas commenter le rôle spécifique de Tau dans votre équation.

Exemple d'application :

Cette constante pouvez être appliqué à l'une des quelques équations décrivant les changements de tension membranaire. Par exemple, une chute de tension membranaire est modélisée comme :

$$V(t) = V_{max}e^{-t/ au}$$

où la tension est en millivolts, le temps est en secondes et $ au$ est en secondes.

  • Vous pouvez en savoir plus sur les mathématiques derrière cela et les propriétés des membranes passives en général ici et ici.

Encore une fois, de Wikipédia :

Plus une constante de temps est grande, plus la montée ou la chute du potentiel d'un neurone est lente. Une longue constante de temps peut entraîner une sommation temporelle ou la sommation algébrique de potentiels répétés. Une constante de temps courte produit plutôt un détecteur de coïncidence par sommation spatiale.


Je comprends que vous faites référence au modèle à 2 états des canaux ioniques. Dans ce cas, la transition d'un état stationnaire à un autre est modélisée comme une décroissance exponentielle. $$ au * dm/dt = (m_inf - m) $$ Les canaux dits "rapides" ont $ au$ de quelques millisecondes, les canaux ioniques « lents » ont des constantes de temps de plusieurs centaines de millisecondes ou plus.

Bien sûr, le modèle à 2 états est un modèle mathématique simplifié des canaux ioniques, mais à de nombreuses fins phénoménologiques, il est suffisant.


Modèles stochastiques de gating de canal ionique

Modèles stochastiques de gating de canal ionique remontent aux travaux pionniers de Hodgkin et Huxley (1952), dont les variables de déclenchement sont souvent interprétées comme des probabilités. Sakmann et Neher ont dirigé les efforts qui ont conduit aux premiers enregistrements à canal unique, pour lesquels ils ont remporté le prix Nobel de physiologie et médecine en 1991. Les enregistrements à canal unique (Sakmann et Neher, 1995) démontrent qu'il n'y a généralement que deux états de conductance des canaux ioniques individuels : les états fermé et ouvert. Les fluctuations entre les états fermé et ouvert semblent se produire de manière aléatoire (figure 1, trace du haut), vraisemblablement provoquée par le bruit thermique. Sous pince de tension, le coefficient de variation (rapport de l'écart type à la moyenne) du courant traversant un ensemble de canaux stochastiques indépendants et identiquement distribués est proportionnel à (1/sqrt ,) où (N) est le nombre de canaux.


Modélisation théorique

La structure complexe de l'espace conformationnel multidimensionnel des protéines implique une cinétique complexe malgré une bistabilité apparemment simple qui est observée (22). Deux approches théoriques populaires ont été développées pour faire face à cette complexité. Une première se base sur une simple dynamique bistable. Pour modéliser la complexité de la cinétique observée, cette dynamique est modifiée en utilisant une dépendance temporelle stochastique supplémentaire du profil énergétique, ou constantes cinétiques. Une telle approche est aujourd'hui communément connue sous le nom de « barrières fluctuantes » (23-27). Alternativement, on peut tenter de modéliser la complexité du profil énergétique lui-même de la manière la plus simple possible. Notre stratégie consiste à trouver un tel modèle minimal du second type qui permette une analyse rigoureuse et reproduise certaines caractéristiques non triviales de la dynamique de déclenchement.

Supposons que la dynamique stochastique conformationnelle entre les états ouvert et fermé peut être décrite en termes de dynamique de coordonnées de réaction unidimensionnelle X(t) dans un potentiel conformationnel U(X) (Fig. 2 et 3). Étant donné que la distribution des intervalles de temps de séjour ouverts suppose généralement une seule exponentielle (1), nous allons plutôt nous concentrer dans ce qui suit sur le comportement des intervalles de temps de séjour fermés. Pour évaluer la distribution des intervalles de temps de résidence fermés, il suffit de restreindre notre analyse au sous-espace des états fermés en plaçant une frontière absorbante à l'interface, X = b, entre les conformations fermées et ouvertes (voir Fig. 3). Nous supposons ensuite que la dynamique de déclenchement est régie par deux portes : une porte d'inactivation et une porte d'activation. La porte d'inactivation correspond au collecteur de indépendant de la tension sous-états fermés. Il est associé à la partie plate, −L < X < 0, du potentiel U(X) sur la figure 3. À cet égard, notre modélisation ressemble à celle de la réf. 28. Le mécanisme d'inactivation des canaux potassiques est assez sophistiqué et actuellement pas totalement établi (1). Il est bien connu que l'inactivation peut se produire à des échelles de temps assez différentes (1). Le rôle d'une porte d'inactivation rapide dans Mixeur Les canaux K + sont pris en charge par la terminaison N étendue du canal, qui est capable de boucher le pore du canal de la partie cytosolique tout en diffusant vers le centre du pore (29). L'inactivation lente est apparemment due à un rétrécissement conformationnel du pore du canal dans la région du filtre de sélectivité (1). Dans les deux cas, aucune translocation nette de charge de déclenchement ne se produit et le processus d'inactivation ne dépend pas de la tension. Lorsque le bouchon d'inactivation est à l'extérieur du pore, ou que le filtre de sélectivité est ouvert (X > 0 dans la Fig. 3) le canal ne peut s'ouvrir que si la barrière d'activation est surmontée.

Modèle étudié et son pendant de diffusion.

La dynamique de la grille d'activation se produit sur la partie linéaire de la rampe du potentiel U(X)—c'est-à-dire sur 0 < X < b dans la Fig. 3, comme dans les réfs. 18 et 19. Notez que pour 0 < X < b, le bouchon inactivant diffuse en dehors du pore du canal et le filtre de sélectivité est ouvert. Au cours de l'étape d'activation, une charge de déclenchement q se déplace à travers la membrane, cette caractéristique rend la dynamique de déclenchement globale dépendante de la tension. Le canal s'ouvre lorsque la coordonnée de réaction atteint l'emplacement X = b dans la Fig. 3. Ce fait est expliqué en mettant une condition aux limites absorbante à X = b. De plus, le canal se ferme immédiatement lorsque la porte d'inactivation se ferme (X ≤ 0), ou lorsque le portail d'activation se ferme. Pour tenir compte de ce comportement lors de l'extraction de la distribution fermée du temps de séjour, nous supposons que le canal est réinitialisé dans l'état X = 0 après chaque fermeture (voir ci-dessous).

Le mouvement de diffusion de la porte inactivée est restreint dans l'espace conformationnel. Nous caractérisons ce fait par l'introduction d'une longueur de diffusion conformationnelle L (Fig. 3) et la constante de diffusion kBT qui se combinent en un seul paramètre : le temps de diffusion conformationnel 2 Cette quantité constitue un paramètre essentiel pour la théorie. On suppose que la hauteur de barrière d'activation U0 est linéairement proportionnel à la tension de polarisation V (18, 19) - c'est-à-dire en termes de frais de blocage q nous avons 3 De plus, U0 est positif pour les tensions négatives, c'est-à-dire pour V < Vc- disparaît à V = Vc, et devient négatif pour V > Vc. Ainsi, pour V > Vc le canal « glisse » dans son état ouvert, plutôt que de franchir une barrière. De plus, la fraction des sous-états dépendants de la tension dans l'ensemble des états fermés devrait être très petite, ce qui implique que 4

Solution analytique.

L'équation de Fokker-Planck correspondante pour la densité de probabilité des états fermés P(X, t) lit 5 où = 1/(kBT). Pour retrouver la répartition des temps de résidence fermés Fc(t), on résout l'équation. 5 avec la condition initiale P(X,0) = (X), en combinaison avec une condition aux limites réfléchissante dP(X, t)/dx |X=−L = 0, et une condition aux limites absorbante, P(X, t)|X=b = 0 (4). La distribution fermée du temps de séjour suit alors comme 6 où Φc(t) = ∫ P(X,t)dx est la probabilité de survie de l'état fermé.

En utilisant la méthode de transformation de Laplace standard, nous arrivons à ce qui suit exact solution : 7 où 8 9 Le résultat explicite dans 7–9 permet de retrouver tous les instants de la distribution fermée du temps de séjour. En particulier, le temps de séjour fermé moyen 〈Tc= limites→0[1 − f̃c(s)]/s lit 10 Ce même résultat 10 peut être obtenu alternativement si nous invoquons la relation bien connue pour le temps moyen de premier passage 〈Tc〉 = 1/dxe ??U(X) ∫ colorant −βU(oui) (4). Ce schéma alternatif fournit un contrôle de validité réussi pour notre solution analytique dans 7–9.

Élucidation de la dépendance à la tension dans l'équation. 1.

Après avoir observé la condition 4, Éq. 10 à l'aide de 3 lit dans l'ordre supérieur de ξ 11 Avec les identifications de paramètres 12 et 13 le résultat dans 11 coïncide précisément avec l'équation. 1. Le fait que notre approche donne la dépendance déroutante de la tension dans l'équation. 1 constitue un premier résultat important de ce travail.

Estimons ensuite les paramètres du modèle pour un Agitateur infrarouge Canal K + à partir de la réf. 6. Dans la réf. 6, la dépendance à la tension de ko(V) à T = 18°C ​​a été paramétré par Eq. 1 avec les paramètres donnés dans la légende de la Fig. 1. Ensuite, à partir de l'Eq. 12 les frais de blocage peuvent être estimés à q ≈ 20e (e est la charge élémentaire de valeur positive). Quant au temps de diffusion τ, nous supposons qu'il correspond à l'échelle de temps d'inactivation, cette dernière est de l'ordre de quelques secondes et plus (6). Par conséquent, nous utilisons = 1 seconde comme borne inférieure pour notre estimation. La fraction d'états dépendants de la tension est ensuite extraite de l'Eq. 13 pour donner, 0,0267. Cette valeur, en effet, est plutôt petite et prouve donc notre conclusion dans l'équation. 11 pour être cohérent.

Analyse pour la distribution du temps de résidence fermée.

Les résultats exacts dans les équations. 7–9 semblent plutôt intriqués. Pour extraire le comportement en temps réel, il faut inverser numériquement la transformée de Laplace. Avec ξ ≪ 1, cependant, les équations. 7–9 sont formellement réduits à 14 Ce résultat d'ordre de premier plan peut être inversé analytiquement en termes de somme infinie d'exponentielles, ce qui donne : 15 où les constantes de vitesse 0 < λ1 <2 < … sont les solutions de l'équation transcendantale 16 et les coefficients de dilatation cm, respectivement, sont donnés par 17 Note de l'Eq. 6 que l'ensemble cm est normalisé à l'unité, c'est-à-dire Σ cm = 1.

L'approximation analytique, Eqs. 15–17, est comparée sur la figure 4 avec l'inversion numérique précise de la transformée de Laplace exacte dans les équations. 7–9. L'inversion numérique a été réalisée avec l'algorithme de Stehfest (30). Comme on peut le déduire de la figure 4, pour t > 10 msec l'accord est vraiment très bon. Un écart sérieux ne se produit que dans la plage 0,01 msec < t < 0,1 ms, ce qui se situe en dehors de la plage des expériences de patch-clamp (t 0,1 ms). De plus, l'accord s'améliore avec l'augmentation de τ (pas montré).

Distribution fermée du temps de séjour pour un cas à diffusion limitée. Le résultat numérique précis (trait plein) est comparé à l'approximation analytique dans les équations. 15–17 (ligne brisée). Ce dernier coïncide avec la solution exacte du modèle de diffusion de Millhauser et al. (12) dans la limite d'échelle.

Origine de la distribution de la loi de puissance.

Les caractéristiques affichées par la distribution fermée du temps de séjour Fc(t) dépendent sensiblement de la tension appliquée V. Lorsque V > Vc-par exemple., V = -45 mV, comme sur la figure 4 - la barrière d'activation vers l'ouverture du canal disparaît et la dynamique d'ouverture devient limitée en diffusion. Dans ce cas, le temps de diffusion = 1 sec dépasse largement le temps de séjour fermé moyen 〈Tc≈ 18,4 ms. Autrement dit, ≫ 〈Tcet la distribution fermée du temps de séjour présente un comportement complexe avec trois régions distinctes (voir Fig. 4). Plus important encore, pour l'échelle de temps intermédiaire 18, nous trouvons à partir de l'Eq. 14 (en considérant la limite τ → ∞) que la distribution fermée des temps de séjour obéit à une loi de puissance, lecture 19. Ce type de comportement est clairement détectable sur la figure 4, où il couvre environ deux décennies de temps. Comme il ressort de l'éq. 18, une augmentation de τ par une ordre de grandeur (en gardant 〈Tcfixe) étend la région de la loi de puissance de deux ordres de grandeur. Cette conclusion est pleinement confirmée par nos chiffres (non représentés). Cette dépendance à la loi de puissance, qui s'étend sur quatre ordres de grandeur, a été observée expérimentalement pour un canal K + dans des cellules NG 108-15 (11). Au contraire, pour les canaux, où τ est plus petite, la région de loi de puissance 18 se rétrécit et finit par disparaître, alors que le taux d'ouverture moyen défini par l'Eq. 10 présente toujours une forte dépendance à la tension. Ainsi, notre modèle est capable de décrire pour différents canaux à la fois l'émergence de la loi de puissance et son absence.

A l'échelle du temps t τ la distribution de la loi de puissance discutée passe dans la queue exponentielle, cette dernière est entièrement décrite par le plus petit exposant λ1 dans l'éq. 15, c'est-à-dire par 20. Cette caractéristique est clairement manifeste sur la figure 4. La transition vers la queue exponentielle dans la distribution fermée de l'intervalle de temps de résidence peut être utilisée pour estimer le temps de diffusion τ sur pur expérimental terrains!

Enfin, considérons la limite opposée, τ ≪ 〈Tc〉, pour VVc. Pour l'ensemble de paramètres considéré, cela se produit, par exemple pour V = -55 mV—lorsque le canal est majoritairement fermé. Ensuite, l'étape de diffusion dans l'ouverture devient négligeable et dans la plage expérimentalement pertinente des temps de séjour fermé, définie par 〈Tc〉, la distribution correspondante peut être approchée par une seule exponentielle, 20. Une théorie des perturbations dans l'équation. 16 rendements λ1ko (1 − (ko??)/3). Pour les paramètres utilisés on a λ1 ≈ 0.96ko et, à partir de l'éq. 17, c1 0,95. Ceci est en parfait accord avec les résultats numériques précis obtenus à partir des équations. 7–9. Ainsi, la distribution des temps de résidence fermés est simple exponentielle à un très bon degré. Par conséquent, un même canal peut présenter à la fois une distribution exponentielle et une distribution en loi de puissance des temps de séjour fermés, en fonction de la tension transmembranaire appliquée. Avec une augmentation de la plage de tension du comportement exponentiel se déplace vers des tensions plus négatives, V < Vc, et vice versa.

Réduction à un modèle de diffusion.

Relions notre modèle à celui introduit précédemment par Millhauser et al. (12). Ce dernier est représenté avec la partie inférieure sur la Fig. 3. Il suppose un nombre discret N de sous-états fermés de même énergie. La particule de déclenchement saute avec les mêmes vitesses avant et arrière k entre les états adjacents, qui sont occupés par des probabilités pm(t). Au bord droit de la chaîne d'états fermés, le canal ionique subit une transition vers l'état ouvert avec la constante de vitesse dépendant de la tension . Pour calculer la distribution fermée du temps de séjour Fc(t) on suppose p0(0) = 1, pm≠0(0) = 0, et ??c(t)/dt = −γp0(t), oùc(t) = pm(t) est la probabilité de survie (12, 17).

On considère la variante de diffusion continue de ce modèle (31) dans une limite d'échelle : on pose ΔX → 0, k → ∞, → ∞, N → ∞, en gardant la longueur de diffusion L = N ??X, la constante de diffusion = kX) 2 , et la constante ko = /N tout fini. Ce dernier a le sens de taux d'ouverture moyen (voir ci-dessous). Notez que contrairement à notre approche, le paramètre de taux ko dans le modèle de diffusion est d'origine phénoménologique pure. Le problème de trouver la distribution fermée du temps de séjour se réduit à résoudre l'équation de diffusion 21 avec la condition initiale P(X,0) = (X − 0), la condition aux limites réfléchissante ∂P(X, t)/∂X |X=−L = 0 et la condition aux limites de rayonnement (32). 22 Nous soulignons que la condition aux limites de rayonnement 22 n'est pas postulé, mais est plutôt dérivé du modèle discret d'origine dans la limite d'échelle considérée. En utilisant la méthode de transformation de Laplace, nous avons résolu exactement ce problème et obtenu le résultat dans l'équation. 14. En conclusion, notre résultat approximatif dans les équations. 14–17 fournit le exact solution du modèle de diffusion (12, 17) dans la limite d'échelle ! Notez, cependant, que ce modèle de diffusion ainsi obtenu n'est pas capable de résoudre la dépendance déroutante de la tension dans l'équation. 1.


Matériaux et méthodes

Des méthodes ont été décrites précédemment 18 et sont présentées en détail dans le supplément en ligne. Le mano1 a, c la variante d'épissure (Adhésion : <"type":"entrez-protein","attrs":<"text":"Q8BHY3","term_id":"148887069","term_text":"Q8BHY3">> Q8BHY3) a été utilisée . Des mutations ont été réalisées par mutagenèse par PCR. mAno1 a été transfecté dans des cellules HEK293 en utilisant Fugene-6 (Roche Molecular Biochemicals, Indianapolis, IN). Les cellules HEK293 transfectées ont été patchées à l'aide de patchs conventionnels à cellules entières et excisées à l'envers. La solution intracellulaire zéro Ca 2+ contenait (mmol/L) : 146 CsCl, 2 MgCl2, 5 EGTA, 10 HEPES, 10 saccharose, pH 7,3, ajusté avec NMDG. La solution de pipette à haute teneur en Ca 2+ contenait 5 mmol/L de Ca 2+ -EGTA, au lieu d'EGTA (Ca 2+ 20 μM libre). Les 126 μM et 2 mmol/L Ca 2+ ont été fabriqués en ajoutant 0,2 mmol/L et 2 mmol/L CaCl2 à une solution riche en Ca 2+. La solution extracellulaire standard contenait (mmol/L) : 140 NaCl, 5 KCl, 2 CaCl2, 1 MgCl2, 15 glucose, 10 HEPES, pH 7,4 avec NaOH. La perméabilité relative aux anions a été déterminée en mesurant le décalage du courant zéro Etour après avoir changé la solution du bain de 151 mmol/L Cl − à 140 mmol/L anion de substitution (X − ) plus 11 mmol/L Cl − . Le rapport de perméabilité (P) a été calculé en utilisant l'équation de Goldman-Hodgkin-Katz. La perméabilité de Na + ou Cs + par rapport à Cl − a été déterminée en mesurant les changements de courant nul Etour lorsque la concentration de NaCl ou de CsCl extracellulaire a été modifiée (méthode du potentiel de dilution). L'application rapide de Ca 2+ sur des patchs excisés à l'envers a été réalisée à l'aide d'un tube thêta à double canon avec un diamètre de pointe de

50 μm attachés à un piézobimorphe sur un micromanipulateur. Un baril était rempli de zéro standard [Ca 2+ ]je solution, et l'autre baril a été rempli de solution intracellulaire contenant le Ca 2+ libre indiqué. L'évolution dans le temps de l'échange de solution à travers l'interface d'écoulement laminaire a été estimée par des mesures de potentiel de jonction liquide à 0,5 ms (temps de montée 10&# x0201390 %) pour une différence de 10 fois la force ionique. Le mano1 avec des épitopes d'hémagglutinine (HA) de grippe humaine insérés à diverses positions a été utilisé pour déterminer la topologie en évaluant l'accessibilité de l'épitope HA à un anticorps appliqué de manière extracellulaire. Les cellules ont été fixées pendant 15 min à température ambiante dans du paraformaldéhyde à 1 % dans du tampon phosphate 0,1 mol/L pH 7. Les cellules non perméabilisées ont été lavées 3 fois dans du tampon de blocage. Les cellules perméabilisées ont été incubées dans un tampon de blocage contenant 0,15% - 0,3% de Triton-X100. Les cellules ont été incubées avec un anticorps anti-HA dilué au 1:750 dans du tampon de blocage pendant 2 h à température ambiante, lavées 3 fois dans du tampon de blocage, puis incubées dans des IgG de chèvre anti-lapin conjuguées au Dylight-549 (Jackson Immunochemicals).


Résumé

Les modèles mathématiques des potentiels d'action cardiaque sont devenus de plus en plus importants dans l'étude des maladies cardiaques et de la pharmacologie, mais des inquiétudes persistent quant à leur robustesse pendant de longues périodes de simulation, en particulier en raison de problèmes tels que la dérive du modèle et les états stables non uniques. Des études antérieures ont lié ceux-ci à la violation des lois de conservation, mais n'ont exploré que ces problèmes en ce qui concerne la conservation de la charge dans des modèles spécifiques. Ici, nous proposons une méthode générale et systématique d'identification des lois de conservation cachées dans les modèles d'électrophysiologie cardiaque en utilisant des graphes de liaison, et développons un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque pour étudier le comportement à long terme. Les graphes de liaison fournissent un cadre explicite basé sur l'énergie pour la modélisation des systèmes physiques, ce qui les rend bien adaptés à l'examen de la conservation dans les modèles électrophysiologiques. Nous constatons que les lois de conservation de charge dérivées des études précédentes sont des exemples du concept plus général de « motif conservé ». Les fragments conservés expliquent la dérive du modèle et les états stables non uniques, généralisant les résultats des études précédentes. L'approche du graphe de liaison fournit une méthode rigoureuse pour vérifier la dérive et les états stables non uniques dans un large éventail de modèles de potentiel d'action cardiaque, et peut être étendue pour examiner les comportements d'autres systèmes excitables.

1. Introduction

Des modèles du potentiel d'action cardiaque ont été développés pour étudier les maladies cardiaques, telles que l'arythmie [1–3], l'ischémie [4] et l'acidose [5]. La complexité croissante des modèles a suscité des inquiétudes quant à l'apparition de dérives et d'états stationnaires non uniques [6–8], en particulier pour les extensions des modèles DiFrancesco & Noble [9] et Luo–Rudy [1,3]. Bien que des solutions à ces problèmes aient été proposées en utilisant des principes de conservation [10,11], elles n'ont pas été universellement appliquées pour les modèles plus récents, dont beaucoup utilisent encore des courants de stimulation non conservateurs qui les prédisposent à la dérive [12-14]. Plus récemment, la Food and Drug Administration (FDA) a lancé des plans pour utiliser des modèles de potentiel d'action cardiaque pour évaluer les effets secondaires potentiels des médicaments sur l'instabilité cardiaque à travers l'homme. éther-à-go-go-canal K + du gène apparenté (hERG). Ainsi, en mettant de plus en plus l'accent sur la robustesse et la précision du modèle, il existe une incitation renouvelée à résoudre les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques [15,16].

La dérive est l'échec d'un modèle à atteindre un cycle limite cohérent lorsqu'il est simulé sur de longues périodes, et est souvent causé par un stimulus non conservateur contenant un courant sans porteur de charge [6,10]. Hunt et al. [10] ont dérivé une loi de conservation de charge et ont constaté que les courants de stimulus non conservateurs violent cette loi de conservation, ils ont donc proposé des ions K + comme porteurs de charge actuels pour résoudre ce problème. Un problème connexe dans de nombreux modèles où la dérive a été résolue est que les cycles limites en régime permanent sous stimulation constante dépendent des conditions initiales et ne sont donc pas uniques [7,8,10]. Ainsi, selon les conditions initiales, un même modèle peut conduire à des conclusions différentes. Comme la dérive, les auteurs ont suggéré que la conservation de la charge peut contraindre les conditions initiales de telle sorte qu'elles conduisent au même état stationnaire [8,10,11].

Alors que les études de Hund et al. [10] et Livshitz & Rudy [11] suggèrent des mesures pour éliminer la dérive et atteindre un état stable unique en utilisant des lois de conservation, leurs analyses sont limitées dans leur portée et ne constituent pas une solution complète pour tous les modèles. Étant donné que les études existantes [10,11] explorent la conservation de la charge uniquement dans des modèles spécifiques et que les lois de conservation sont dérivées de l'intuition physique plutôt que d'une approche mathématique fondée sur des principes, il est difficile de généraliser leurs conclusions à d'autres modèles où la conservation de la charge est systématiquement négligée. De plus, parce que ces études se concentrent uniquement sur la conservation de la charge, elles peuvent manquer d'autres lois de conservation pertinentes pour le comportement à long terme, telles que celles correspondant aux ions, aux canaux ioniques et aux tampons. Une approche générale est donc souhaitable pour traiter les problèmes de dérive et d'états stationnaires de manière plus systématique et pour une gamme plus large de modèles.

Pour faciliter une approche générale, nous proposons l'utilisation de graphes de liaisons qui modélisent explicitement le transfert d'énergie à travers les systèmes physiques pour assurer le respect des principes de conservation. Les Bond graphs ont été initialement inventés pour modéliser les systèmes hydroélectriques [17] et ils ont ensuite été étendus pour modéliser les systèmes chimiques [18], biochimiques [19,20] et électrochimiques [21]. Comme pour tous les systèmes physiques, les processus biologiques doivent obéir aux principes fondamentaux de la physique et de la thermodynamique [22], par conséquent, les graphes de liaisons sont bien adaptés pour contraindre les modèles de systèmes biologiques à des solutions physiquement plausibles [23], et également pour déduire le coût énergétique des systèmes biologiques. processus [21,23-25]. Parce que la représentation du graphe de liaison met l'accent sur les analogies entre différents domaines physiques, les systèmes électrophysiologiques peuvent être analysés comme un système biochimique analogue avec une matrice stoechiométrique qui décrit la stoechiométrie de chaque réaction dans ses colonnes [20,26-28]. Dans ce contexte, le «principe de conservation» décrit dans des études antérieures est un exemple du principe plus général d'une partie conservée dans l'analyse métabolique et des graphes de liaison [23,29].

Dans cette étude, nous développons un modèle de graphe de liaison abrégé du potentiel d'action cardiaque et décrivons une approche générale pour étudier les effets des fractions conservées sur la dérive et le comportement à l'état d'équilibre. Notre modèle de graphe de liaison simule les caractéristiques essentielles du potentiel d'action cardiaque, et comme les graphes de liaison sont basés sur l'énergie, cela fournit facilement une estimation du coût énergétique (en Joules) du potentiel d'action cardiaque. Notre analyse révèle la conservation de la charge comme l'une des fractions conservées de notre modèle, ainsi que d'autres fractions conservées correspondant aux ions, canaux, transporteurs et tampons. Nous avons observé que notre solution modèle était sujette à la dérive lorsque le courant de stimulus violait les lois de conservation correspondant aux fragments conservés, et que les modifications des conditions initiales conduisaient à des états stables différents si la valeur d'un fragment conservé était modifiée. Pour démontrer que notre approche est générale, nous analysons des variantes de notre modèle de graphe de liaison où différents ions ont été fixés à une concentration constante (correspondant à des « chemostats »). Il convient de noter que la fixation d'une concentration ionique peut modifier les fragments conservés d'un système, influençant ainsi la susceptibilité d'un modèle à la dérive et aux états stables non uniques. L'approche du graphe de liaison est une méthode utile et générale pour identifier et interpréter les principes de conservation, et elle peut lier des fragments conservés à des états stables individuels. Notre approche peut être utilisée pour dériver automatiquement des lois de conservation de charge qui sont fréquemment négligées dans les modèles existants d'électrophysiologie cardiaque, et nous nous appuyons sur des rapports existants [10,11] pour proposer des solutions pour la dérive et les états stables non uniques qui fonctionnent pour toutes les actions cardiaques. des modèles potentiels pouvant être représentés à l'aide de graphiques de liaisons.

2. Méthodes

(a) Composants du modèle

Pour étudier les problèmes de dérive et d'états d'équilibre non uniques, nous avons construit un modèle de graphe de liaison abrégé du potentiel d'action cardiaque, avec le nombre minimal de canaux et de pompes nécessaires pour simuler les caractéristiques essentielles d'un potentiel d'action cardiaque et maintenir les concentrations ioniques. sur de longues périodes de simulation. Nous notons qu'une série d'équations mathématiques ne peut être décrite à l'aide de graphes de liaisons que si elles décrivent un système thermodynamiquement cohérent, et qu'aucun modèle existant d'électrophysiologie cardiaque n'est entièrement cohérent thermodynamiquement. Comme on le voit dans Gawthrop et al. [21], une traduction exacte des modèles de canaux ioniques existants dans le cadre du graphe de liaison n'est généralement pas possible. Par conséquent, pour certains processus de transport et en particulier pour les canaux ioniques, il a été nécessaire de construire de nouveaux modèles dans le cadre du graphe de liaison, bien que leurs paramètres et leur structure puissent être choisis en fonction des équations des modèles existants. En conséquence, bon nombre des composants essentiels de notre modèle étaient principalement basés sur le modèle dynamique Luo-Rudy 1994 [1], bien qu'il soit possible d'utiliser d'autres modèles et/ou de modéliser des processus plus subcellulaires. Nous soutenons au §2c que certains aspects des équations pour les canaux ioniques décrits dans le modèle de Luo et Rudy ne sont pas thermodynamiquement cohérents et ne peuvent pas être représentés sous forme de graphes de liaison. Nous décrivons notre approche de modélisation des canaux ioniques au §2d. Comme nous utilisons des structures de graphe de liaison simples et élémentaires basées sur des principes physiques, notre représentation de graphe de liaison des canaux ioniques est une approximation physiquement contrainte des équations décrites dans Luo et Rudy, bien qu'elle soit toujours capable de simuler les caractéristiques essentielles du potentiel d'action cardiaque. .

Les composants du modèle sont illustrés à la figure 1une, ainsi que la structure globale du graphe de liaison (figure 1b). Les canaux ioniques et les composants tampons Ca 2+ étaient basés sur leurs représentations dans Luo & Rudy [1]. Le canal Ca + de type L dans le modèle Luo-Rudy est perméable au calcium, au sodium et au potassium, mais nous avons négligé sa conductance sodique car elle a une contribution relativement faible au potentiel d'action. Le modèle Na + /K + ATPase était basé sur le modèle de Terkildsen et al. [4], avec les modifications suggérées par Pan et al. [30] pour permettre la conversion en un modèle de graphe obligataire. L'équation pour le courant de l'échangeur Na + –Ca 2+ (NCX) dans Luo et Rudy n'avait pas de correspondance évidente avec une structure de graphe de liaison, nous avons donc modélisé cette composante à l'aide d'un simple module de graphe de liaison qui a été adapté aux données expérimentales [31 ,32]. L'approche générale pour la modélisation des canaux ioniques est décrite plus loin dans les méthodes, avec des détails sur les autres composants, ainsi que des détails supplémentaires sur la modélisation des canaux ioniques donnés dans le matériel électronique supplémentaire.

Figure 1. Modèle de potentiel d'action. (une) Schéma de cellule, (b) structure globale du graphe de liaison. Les modules de graphe de liaison Na_channel, NaK, K_channels, LCC, NCX et Ca_buffer contiennent des aspects plus détaillés de la structure de graphe de liaison qui sont décrits plus en détail dans les Méthodes et matériel électronique supplémentaire. Des liaisons colorées relient les modules de graphes de liaisons aux espèces chimiques appropriées. Définitions : jeN / A, courant de sodium jeK1, indépendant du temps K + courant jeK, dépendant du temps K + courant jeKp, plateau K + courant jeLCC, courant Ca 2+ de type L NCX, échangeur Na + –Ca 2+ Na/K, Na + /K + ATPase TRPN, troponine CMDN, calmoduline. (Version en ligne en couleur.)

(b) Modélisation de Bond graph

Ici, nous décrivons brièvement les composants du graphe de liaison tels qu'ils sont utilisés dans la modélisation électrophysiologique. Pour une introduction plus complète, les textes de Gawthrop & Smith [33] et Borutzky [34] fournissent des descriptions détaillées de la théorie des graphes de liaisons, et Gawthrop & Bevan [35] fournissent un court tutoriel pour les ingénieurs. La théorie de la modélisation par graphe de liaison des systèmes biochimiques peut être trouvée dans [19,20,23,36].

Les graphes de liaisons sont constitués de composants (représentant des objets physiques et des processus), de liaisons (représentant le transfert d'énergie) et de jonctions (représentant la structure du réseau). Chaque lien porte deux variables : un effort e et un flux F , de sorte que leur produit détermine la puissance du lien (c'est-à-dire p = ef). Ainsi, les graphes de liaisons tiennent compte explicitement du transfert d'énergie et sont thermodynamiquement cohérents. Étant donné que l'effort et le débit sont des variables généralisées, ils peuvent représenter des quantités provenant de divers systèmes physiques, notamment mécaniques (e = force (N), F = vitesse (m s −1 )), électrique (e = tension (V), F = courant (A)) et systèmes hydrauliques (e = pression (Pa), F = débit volumétrique (m 3 s −1 )) [34].

La structure du réseau d'un graphe de liaison est spécifiée par les jonctions 0 et 1. Les jonctions 0 (ou d'effort) spécifient que les efforts de toutes les liaisons connectées sont égaux, et donc pour assurer la conservation de l'énergie à travers cette jonction, les flux des liaisons doivent être égaux à zéro. Dans les domaines électrique et hydraulique, les jonctions 0 représentent des connexions parallèles, alors qu'elles représentent des connexions série dans le domaine mécanique. Par un principe similaire, les jonctions 1 (ou de flux) spécifient que les flux de toutes les liaisons connectées sont égaux, garantissant que la somme de leurs efforts est nulle. Ainsi, les jonctions 1 correspondent à des connexions série dans les domaines électrique et hydraulique, et des connexions parallèles dans le domaine mécanique.

Pour illustrer l'utilisation d'un graphe de liaison pour l'analyse des circuits électriques, nous considérons le circuit électrique où deux condensateurs sont connectés à une résistance en série (figure 2une). Tous les composants sont linéaires, décrits par les équations suivantes :

Il est à noter que dans cet exemple, les composantes R et C sont linéaires. Plus généralement (comme requis dans les systèmes biochimiques et électrophysiologiques), les graphes de liaisons permettent la définition de composants avec des équations constitutives non linéaires pour donner lieu à des équations différentielles ordinaires non linéaires (EDO) qui adhèrent à des contraintes thermodynamiques et physiques [34].

Figure 2. Représentations conceptuelles des systèmes physiques. (une) Un graphique de liaison pour le circuit électrique simple illustré avec deux condensateurs et une résistance en série. (b) Un graphe de liaisons analogue au circuit électrique de (une) peut aussi représenter la réaction chimique A ⇌ B . (c) Les graphes de liaison peuvent également modéliser l'interaction des composants dans les domaines chimiques et physiques, tels que le transport d'un ion à travers une membrane. () Le transport d'un ion à travers une membrane à travers un canal ionique implique un déclenchement qui module la vitesse de réaction. Ainsi, le canal ionique est analogue à un potentiomètre. (Version en ligne en couleur.)

Plus récemment, les bond graphs ont été étendus pour modéliser des systèmes biochimiques [19,20] où le potentiel chimique ?? (J mol −1 ) est la variable d'effort, et le débit molaire v (mol s −1 ) est la variable de débit. Comme la température et la pression sont supposées constantes dans les systèmes biochimiques, la mesure du potentiel thermodynamique ?? correspond à l'énergie libre de Gibbs [37]. Pour la modélisation par graphe de liaison de systèmes plus généraux où la température et la pression changent, le lecteur est dirigé vers le texte de Thoma & Bouamama [38].

Parce que les équations d'action de masse sont non linéaires en général, des composants non linéaires sont nécessaires pour modéliser les systèmes biochimiques. Chaque espèce chimique est représentée comme un condensateur. Cependant, contrairement au domaine électrique, l'équation constitutive du condensateur représentant chaque espèce est logarithmique :

Le cadre des graphes de liaisons pour la biochimie peut être étendu aux systèmes électrochimiques [21] comme le montre la figure 2c, qui modélise le transport d'une espèce chargée positivement X à travers une membrane. Il est à noter que les espèces chimiques sont décrites avec des composants C qui ont une association logarithmique, alors que le composant C correspondant au potentiel de membrane (électrique) a une relation constitutive linéaire. Un transformateur (TF) est utilisé pour convertir la tension membranaire en un potentiel chimique équivalent grâce à la constante de Faraday F = 96485 C mol −1 , tel que :

Nous avons choisi de représenter les canaux ioniques de telle sorte que la conductance soit modulée par la tension membranaire, à la fois directement et indirectement via des processus de déclenchement. Une représentation graphique de liaison pour cette relation est donnée dans la figure 2. Comme indiqué, ce modèle a la même représentation électrique que la figure 2c Cependant, il utilise une résistance variable. La représentation du graphe de liaison contient les mêmes états, avec C : xi, C : xe et C : mem (avec un transformateur) connectés via 0 jonctions. Dans ce cas cependant, les composants Re qui décrivent la relation constitutive ont été modifiés, de sorte que Re_GHK : r1 est connecté à un effort supplémentaire qui module sa vitesse, et l'affinité de gating UNE g est ajouté à la fois aux affinités directe et inverse pour décrire les changements de perméabilité dus au déclenchement. De plus amples détails sur la modélisation des canaux ioniques à l'aide de graphes de liaison sont donnés au §2d.

(c) Approche de modélisation

Parce que les graphes de liaisons contraignent les équations d'un modèle pour assurer la cohérence thermodynamique, ils ne permettent la représentation que du sous-ensemble de modèles mathématiques généraux qui sont thermodynamiquement cohérents. Dans de tels modèles, les processus dissipatifs tels que les réactions et les courants ioniques ne peuvent se dérouler que dans le sens d'un potentiel chimique ou électrochimique décroissant, et lorsqu'il n'y a pas de gradient de potentiel (c'est-à-dire que le processus est à l'équilibre), le processus doit s'arrêter. Cependant, de nombreux modèles existants d'électrophysiologie cardiaque ne sont pas contraints d'assurer ce comportement, et dans certains cas, ils décrivent des systèmes physiquement infaisables qui créent de l'énergie à partir de nulle part [20]. Par conséquent, de nombreux modèles existants n'ont pas de représentation directe de graphe de liaison [23]. Un avantage de l'approche du graphe de liens est que la discipline requise pour convertir un modèle existant en un graphe de liens permet de mettre en évidence les problèmes thermodynamiques et les incohérences dans les modèles existants qui auraient autrement été manqués ou ignorés (voir Gawthrop et al. [23] pour un exemple de ce procédé appliqué à un modèle de glycolyse). Pour les courants de cette étude, les équations de Luo-Rudy pour les canaux K + et Ca 2+ de type L dépendant du temps ne sont pas thermodynamiquement cohérentes et ne peuvent donc pas être directement converties en un modèle de graphe de liaison. Comme le montre l'équation (2.11), une conséquence de la cohérence thermodynamique du cadre du graphe de liaison est qu'il existe une contrainte sur le point d'équilibre pour chaque canal ionique qui est déterminé par l'équation de Nernst. Comme les points d'équilibre des canaux dépendant du temps K + et Ca 2+ de type L ne correspondent pas au potentiel de Nernst (voir matériel électronique supplémentaire, A.1.3 et A.1.5), ils ne sont pas thermodynamiquement cohérents et donc leurs équations ne peut pas être traduit en un composant de graphe de liaison dissipatif. Ces problèmes ont été résolus en trouvant une approximation thermodynamiquement cohérente qui satisfait l'équation de Nernst. Un deuxième problème est qu'il est difficile de modéliser simultanément les courants à canal ouvert et le gating de canal en utilisant les composants élémentaires, décrits dans le §2b et la figure 2, nous avons donc approximé ces relations en utilisant les composants décrits dans cette section plutôt qu'en utilisant des composants plus compliqués. Par conséquent, plutôt que d'essayer de reproduire exactement les équations de Luo-Rudy, nous avons construit une structure de graphe de liaison comme l'impliquent les équations du modèle Luo et Rudy, et avons choisi les paramètres de notre modèle de graphe de liaison pour s'adapter aux aspects du modèle Luo-Rudy comme aussi près que possible, en particulier les courbes courant-tension (IV) et les paramètres de déclenchement. Pour tous les autres composants, la conversion en un modèle de graphe de liens était plus simple, et nous avons utilisé les méthodes de Gawthrop et al. [23]. De plus amples informations sur le modèle de graphe de liaison et l'identification des paramètres sont fournies dans le matériel électronique supplémentaire.

(d) Modélisation des canaux ioniques

(i) Structure du graphe de liaison.

Dans cette section, nous discutons des décisions prises dans le développement de modèles de canaux ioniques. La structure du graphe de liaison pour le canal Kp est illustrée à la figure 3. Les autres canaux ont des structures similaires qui découlent de la discussion dans cette section.

Figure 3. Le modèle de bond graph d'un canal K+ en plateau. (une) Les channel_Kp module décrit le courant à travers le canal ionique. (b) Les gate_en_Kp contient les états requis pour le déclenchement. (c) Les vRe Le module contient une réaction dépendante de la tension utilisée pour décrire les transitions d'état de canal. () Les modules de courant de canal et de déclenchement sont combinés dans un modèle de canal ionique ( Kp_channel ). (Version en ligne en couleur.)

(ii) Relations courant-tension.

Alors que les propriétés thermodynamiques peuvent être utilisées pour déterminer comment la tension membranaire et les concentrations ioniques se rapportent à l'équilibre, elles ne spécifient pas le comportement en dehors de l'équilibre. À cette fin, la relation courant-tension (I-V) définit la relation entre la tension membranaire et le courant traversant un canal spécifique. Dans de nombreux modèles d'électrophysiologie [1], les courants à travers les canaux ioniques sont décrits par l'utilisation de relations I-V linéaires basées sur des ajustements empiriques aux données plutôt que sur des principes physiques fondamentaux. En utilisant des graphiques de liaisons, il est difficile d'incorporer les effets de la synchronisation à l'aide d'une équation I-V linéaire. Alors que les équations IV linéaires peuvent être thermodynamiquement cohérentes à condition qu'elles satisfassent à l'équation de Nernst dans l'équation (2.11), et que de telles équations puissent être représentées en utilisant une composante R linéaire, la modulation de sa conductance nécessiterait l'utilisation de liaisons de signal qui ne représentent pas nécessairement processus physiques [34]. Par conséquent, nous utilisons l'équation de Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) pour modéliser les canaux ioniques, car elle permet une incorporation relativement simple de la synchronisation des canaux ioniques en tant que module biochimique basé sur la physique [21]. L'équation GHK définit une relation non linéaire entre le courant je et tension membranaire V :

Comme de nombreux canaux ioniques dans le modèle Luo-Rudy sont décrits à l'aide d'une relation I-V linéaire, l'utilisation des équations GHK nécessite une approximation. Une comparaison des courbes I-V résultantes est donnée dans la figure 4. Les détails du processus d'ajustement, ainsi que les paramètres du graphique de liaison ajusté, sont donnés dans le matériel électronique supplémentaire. Les courbes I-V des canaux Na + semblent correspondre assez bien (figure 4une), avec quelques divergences aux potentiels de membrane positifs. Pour les canaux K + (figure 4b), nous avons tenté d'optimiser l'ajustement entre les tensions qui correspondent à leur fonction physiologique, de sorte que leurs courants soient les plus similaires à ceux de Luo et Rudy lorsque les canaux ioniques sont ouverts. En conséquence, pour jeK1 (−90 mV≤V < − 30 mV), jeK (−20 mV≤V 30 mV) et jeKp (V > 0 mV), les courbes I-V correspondaient assez bien dans ces régions. Des divergences se sont produites en dehors de ces plages de tensions, mais ne semblaient causer que des différences mineures aux courants. Dans leur mise en œuvre de jeK, Luo & Rudy [1] utilisent une équation I-V thermodynamiquement incohérente où le courant est non nul au potentiel de Nernst pour K + . Malgré cela, les paramètres du graphe de liaison pourraient toujours être choisis pour donner un ajustement raisonnable à cette équation I-V (figure 4c). Étant donné que le modèle Luo-Rudy basait ses courbes Ca 2+ I-V de type L sur l'équation GHK, il y avait une correspondance beaucoup plus étroite entre le graphe de liaison et les modèles Luo-Rudy pour ces courants (figure 4e,F ) et la courbe K + correspondait exactement (figure 4F ).

Figure 4. Comparaison des courbes I-V entre les modèles Luo-Rudy (LRd) et bond graph (BG). (une) jeN / A, (b) jeK1, (c) jeK, () jeKp, (e) jeCa, L, (F) jeK, L. Les concentrations standard dans Luo & Rudy [1] ([Na + je] = 10 mM, [Na + e] = 140 mM, [ K + je ] = 145 mM , [K + e] = 5,4 mM, [Ca + je] = 0,12 µM, [Ca + e] = 1,8 mM) ont été utilisés pour faire correspondre les courbes I-V.

(iii) Modulation.

Alors que les courbes I-V décrivent les courants à travers les canaux ioniques ouverts, une formulation de déclenchement est nécessaire pour décrire le nombre de canaux ioniques ouverts à un moment donné. Dans le cadre Hodgkin-Huxley, la synchronisation est modélisée sous forme d'équations différentielles qui donnent la proportion de portes ouvertes à un moment donné. Nous avons incorporé les effets de la gating via une affinité de gating UNE g , qui s'ajoute aux affinités directe et inverse d'une réaction (figure 3une) pour moduler sa vitesse sans changer l'équilibre [21].

(iv) Modèles étatiques.

Les modèles de canaux ioniques doivent tenir compte de la synchronisation et les graphes de liaison nécessitent l'utilisation de composants physiques pour y parvenir. Nous modélisons le gating en tant que transitions entre les états des canaux, connus dans la littérature sous le nom de modèles de Markov [41,42]. Pour illustrer, nous utilisons l'exemple d'un canal Na + typique dans lequel le courant je est décrit par l'équation

où I est le courant lorsque tous les canaux sont ouverts. Ceci peut être décrit en utilisant le schéma réactionnel de la figure 5, où S31 représente le canal ouvert. Étant donné que les états des canaux individuels sont modélisés, le courant ne dépend que de la quantité de S31 et aucun des autres états fermés. Ainsi, l'incorporation dans le cadre de déclenchement décrit ci-dessus est intuitive, chaque état représente une conformation structurelle du canal ionique et le nombre de canaux dans chaque état est explicitement suivi, facilitant une approche simple pour tenir compte de l'énergétique du déclenchement sous différentes densités de canaux ioniques.

Figure 5. États des canaux d'un canal Na +.

(v) Dépendance en tension des transitions d'état.

Les taux de transition entre les états ouvert et fermé dépendent de la tension pour les canaux ioniques. Les modèles Hodgkin-Huxley décrivent les transitions d'état à l'aide d'EDO de la forme

Pour évaluer la qualité de l'ajustement, nous comparons les probabilités ouvertes à l'état d'équilibre gss = ??(V )/(??(V ) + ??(V )) et les constantes de temps ?? = 1/(??(V ) + ??(V )) (figure 6). Les courbes pour gss et ?? étaient généralement d'accord, cependant, il y avait quelques exceptions. En particulier, les constantes de temps pour les portes du canal Na + ont des pics plus faibles dans le modèle de graphe de liaison par rapport au modèle Luo-Rudy (figure 6unec), mais cela n'a pas semblé affecter de manière significative la fonction du canal Na + car les pics ont tous diminué dans une proportion similaire, facilitant la coordination entre l'ouverture et la fermeture. De même, la constante de temps ?? (figure 6h) était plus faible dans le modèle de graphique de liaison pour certaines tensions, mais étant donné que les écarts se produisent à des constantes de temps beaucoup plus petites que l'évolution temporelle d'un potentiel d'action cardiaque, nous nous attendons à ce que les effets soient négligeables. Enfin, pour le courant K + dépendant du temps Xss est sensiblement plus élevé à des tensions négatives de sorte que le modèle de graphique de liaison peut fournir une meilleure correspondance à des tensions positives (figure 6e). Les effets de cette différence sont partiellement compensés par le courant GHK plus faible aux tensions négatives qui sont toujours au-dessus du potentiel de Nernst de K + (figure 4c).

Figure 6. Ajustement des paramètres du graphique de liaison (BG) par rapport aux équations de déclenchement correspondantes du modèle Luo-Rudy (LRd). Les probabilités d'ouverture en régime permanent sont affichées sur les panneaux de gauche et les constantes de temps sont affichées sur la droite. Les équations du graphe de liaison sont tracées en traits pleins et les équations de Luo et Rudy en traits pointillés. Les portes comprennent (une) m, activation du sodium (b) h, inactivation du sodium (c) j, inactivation lente du sodium () K1, activation K + indépendante du temps (e) X, activation K + en fonction du temps (F) X i , inactivation K + dépendante du temps (g) Kp, plateau K + activation (h) , activation du canal Ca 2+ de type L. Notez que les portes X i et Kp ont été formulées à l'origine sous forme d'équations à l'état stationnaire, les constantes de temps ne sont donc affichées que pour les paramètres de graphe de liaison appariés.

(e) Trouver des fragments conservés

Dans un modèle biochimique, les fragments conservés sont des structures chimiques qui ne sont ni créées, ni supprimées, ni décomposées. Un exemple courant dans les réseaux métaboliques dépendants de l'énergie est la fraction adénosine trouvée dans l'AMP, l'ADP et l'ATP [23,29]. Le bilan de masse spécifie que la quantité totale de chaque fraction conservée reste constante, et si des informations sur la structure moléculaire de chaque espèce d'un réseau réactionnel sont disponibles, ces lois de conservation peuvent être dérivées en comptant le nombre de fractions dans toutes les espèces [29]. En pratique, de nombreux modèles ne contiennent pas ces informations structurelles et cette approche ne peut pas être utilisée cependant, les lois de conservation tiennent toujours. Ici, nous décrivons une méthode pour trouver des fragments conservés en utilisant des informations stoechiométriques plutôt que des structures chimiques.

Les modèles d'électrophysiologie cardiaque peuvent être représentés par l'équation différentielle

(f) Courants de stimulation

Le modèle de potentiel d'action cardiaque a été stimulé à l'aide d'un stimulus à courant constant qui contenait suffisamment de charge pour élever le potentiel membranaire de 30 mV sur 0,1 ms. Les courants de stimulation non conservateurs consistent en une charge non spécifique qui n'est portée par aucun ion spécifique. Comme recommandé par Kneller et al. [8], les courants de stimulus conservateurs contenaient des ions K + comme porteurs de charge.

3. Résultats

(a) Simulation d'un potentiel d'action unique

Pour vérifier que notre modèle de bond graph reproduit les caractéristiques d'un potentiel d'action typique, nous avons simulé le modèle sur un seul battement (figure 7unec). Le potentiel membranaire (figure 7une, avec une stimulation indiquée par la flèche) ressemblait à un potentiel d'action cardiaque typique, avec un pic et une phase de plateau distincts. Les contributions des courants des canaux ioniques reproduisent certaines caractéristiques communes des potentiels d'action cardiaque (figure 7b). Une fois que le potentiel d'action est initié par un courant de stimulation, le courant de sodium jeN / A s'active brièvement pour provoquer un pic de tension. Suite à cela, la phase de plateau se produit où les courants dépolarisants de type L Ca 2+ s'opposent aux courants repolarisants K + jeK et jeKp. Vers la fin du potentiel d'action, jeK1 s'active pour restaurer le potentiel de repos [50]. Notre modèle simule également l'inversion du courant NCX à travers le potentiel d'action, et le courant sortant constant de la Na + /K + ATPase pour maintenir les gradients ioniques (figure 7c). En conséquence de l'incorporation de la dépendance à la tension des transitions de porte dans un cadre physique, les transitions entre les états de canal sont associées à un courant de porte résultant du mouvement de ces résidus chargés. Notre modèle révèle que le courant de déclenchement total sur tous les canaux jeportail a une contribution minimale au courant total (figure 7c).

Figure 7. Une simulation du potentiel d'action cardiaque à l'aide d'un modèle de graphe de liaison. (une) Tension membranaire, après stimulation avec un courant de stimulus conservateur (flèche) (b) courants de canaux ioniques (c) courants de transport et de déclenchement () tension membranaire sur trois cycles, pour comparaison avec (e) et (F) (e) consommation d'énergie (F) énergie dissipée, avec la variable E représentant la consommation d'énergie sur la durée du potentiel d'action. Le modèle a été exécuté initialement pendant 300 ms pour permettre au potentiel membranaire et aux grilles de canal de se stabiliser. Les concentrations d'ions intracellulaires étaient des variables dynamiques avec des concentrations initiales [Na + je] = 10 mM, [K + je ] = 145 mM et [Ca + je] = 0,12 µM. Les concentrations constantes étaient [Na + e] = 140 mM, [K + e] = 5,4 mM, [Ca + e ] = 1,8 mM , [MgATP] = 6,95 mM, [MgADP] = 0,035 mM, [P je ] = 0,3971 mM et pH = 7,095. T = 310 K . (Version en ligne en couleur.)

Figure 7e montre la consommation électrique du modèle membranaire sur trois cycles cardiaques qui a été intégré pour estimer le coût énergétique du potentiel d'action cardiaque (figure 7F ). Notez que l'énergie continue à être consommée même pendant l'état de repos en raison de la présence de courants associés aux transporteurs d'ions. Ainsi, alors que l'énergie est majoritairement consommée pendant le potentiel d'action, il existe un gradient positif entre les potentiels d'action (figure 7F ). En réglant la consommation d'énergie au début du deuxième potentiel d'action à zéro (figure 7F , ligne bleue pointillée), nous avons calculé que le coût énergétique sur la durée du potentiel d'action était de 46,8 pJ. Comme la surface capacitive de la membrane pour ce modèle est de 1,534 × 10 -4 cm 2 , l'énergie consommée par unité de surface membranaire est de 305 nJ cm -2 . Comparé à Gawthrop et al.Selon l'estimation de [21] de 173 nJ cm -2 pour le coût énergétique d'un potentiel d'action dans l'axone géant d'un calmar, le potentiel d'action cardiaque consomme 76 % d'énergie en plus. La principale raison de cette différence est que contrairement à un neurone, le potentiel d'action cardiaque contient une phase de plateau avec des courants opposés. Malgré la vitesse de variation relativement lente de la tension, les courants Ca 2+ et K + restent relativement élevés par conséquent, une grande quantité d'énergie est dissipée pendant la phase de plateau.

(b) Les chimiostats influencent les fragments conservés des modèles de potentiel d'action cardiaque

Étant donné que les premiers modèles du potentiel d'action cardiaque n'incluaient pas de transporteurs actifs, ils utilisaient des concentrations intracellulaires constantes pour maintenir les gradients ioniques sur plusieurs cycles cardiaques [9,51]. Les modèles ultérieurs ont incorporé des transporteurs d'ions, leur permettant de représenter les conditions physiologiques avec des concentrations d'ions intracellulaires dynamiques et des concentrations d'ions extracellulaires constantes pour modéliser le lessivage du système circulatoire [1,3]. Dans des conditions ischémiques, le lavage est fortement inhibé, ainsi les modèles d'ischémie utilisent des concentrations d'ions extracellulaires dynamiques [4].Nous avons étudié la question de la dérive dans trois classes de modèles : ceux avec (A) des concentrations d'ions dynamiques des deux côtés de la membrane, représentant des modèles de myocytes dans des conditions ischémiques (B) des concentrations d'ions intracellulaires dynamiques mais des concentrations d'ions extracellulaires constantes, représentant des modèles de des myocytes dans des conditions physiologiques et (C) des concentrations ioniques constantes, représentant des modèles sans transporteurs.

Nous avons utilisé notre modèle de graphe de liaison pour représenter ces classes de modèles, en sélectionnant des ions à fixer à des concentrations constantes, ce qui a donné trois variantes représentatives des classes énumérées ci-dessus. Ainsi, la variante A représente des modèles de cardiomyocytes dans des conditions ischémiques [4], la variante B représente des modèles de cardiomyocytes dans des conditions physiologiques [1,3] et la variante C représente des modèles sans transporteurs d'ions [9,51]. Les fragments conservés de chaque variante ont été trouvés en utilisant la matrice à espace nul gauche de la matrice stoechiométrique (tableau 1), et ceux-ci incluent par exemple, la quantité totale de canal K1 (motif 1). Parce que le canal n'est ni synthétisé ni dégradé dans notre modèle, la quantité totale de canal, c'est-à-dire la somme de ses fermetures (CK1) et ouvrir (OK1) états, reste constant au cours d'une simulation.

Tableau 1. Fragments conservés associés à la sélection du chemostat. Dans certains sous-groupes biochimiques (partie), il existe des contraintes (quantité conservée) sur une somme correspondante d'espèces représentant le total de la partie. Les quantités conservées restent constantes au cours d'une simulation. Q représente les contributions d'autres espèces au déséquilibre de charge à travers la membrane. Le symbole ?? représente les contributions de charges des états de Markov des canaux et des transporteurs. La définition de ??, et toutes les espèces peuvent être trouvées dans le matériel et le code électroniques supplémentaires.

De même, le fragment 10 pour la variante (A) représente la quantité totale d'ions K+, qui comprend le K+ intracellulaire, le K+ extracellulaire et les ions K+ liés à la Na+/K+ATPase. La quantité totale de K + est constante lorsque les concentrations d'ions sont dynamiques. Cependant, comme la fixation de la concentration de K + nécessite un flux externe supplémentaire, la loi de conservation est rompue dans les variantes (B) et (C). Parce que la capacité membranaire est incluse dans la stoechiométrie du système, notre méthode identifie automatiquement une loi de conservation de charge (partie 13 pour la variante (A) et partie 10 pour la variante (B)).

Bien qu'il soit rassurant que notre approche révèle les fractions conservées évidentes décrites ci-dessus, elle révèle également la fraction conservée de charge non négligeable qui manque à de nombreux modèles d'électrophysiologie cardiaque existants. La quantité globale de charge intracellulaire peut être décrite comme la somme des contributions des états intracellulaires K + , Na + , Ca 2+ (et ses tampons) et des états de Markov des canaux ioniques et des transporteurs (??), similaires aux formes trouvées dans les études précédentes [10,52]. Il convient de noter, cependant, que lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, la conservation de la charge était rompue, comme l'indique l'absence d'une fraction de charge conservée dans la partition inférieure du tableau 1. En général, maintenir la concentration d'une espèce constante rompt lois de conservation [39] et le nombre de fragments conservés diminue progressivement à mesure que de plus en plus de concentrations d'ions sont modélisées en tant que chémostats. Nous en discutons les conséquences dans les dernières sections.

(c) Les courants de stimulus non conservateurs provoquent une dérive dans les modèles avec une loi de conservation de charge

Une caractéristique importante des modèles d'électrophysiologie cardiaque est qu'ils doivent être simulés pendant de longues périodes pour examiner les changements de comportement physiologiquement pertinents. . Comme illustré (figure 8une,b), un stimulus non conservateur a entraîné une dérive lorsque le modèle avait des concentrations d'ions dynamiques soit pour tous les compartiments, soit uniquement dans le compartiment intracellulaire. La dérive était particulièrement prononcée lorsque toutes les concentrations d'ions étaient dynamiques (figure 8une), car les concentrations extracellulaires ont changé plus rapidement que les concentrations intracellulaires. En revanche, le modèle était résistant à la dérive d'un stimulus non conservateur lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes (figure 8c).

Figure 8. Effet du type de stimulus et des concentrations d'ions variables sur la dérive dans le modèle de graphe de liaison. (une) Concentrations d'ions dynamiques (b) Concentrations d'ions intracellulaires dynamiques (c) Concentrations d'ions constantes. Les résultats sont affichés pour les stimuli qui conservent la charge globale (bleu) et ceux qui ne conservent pas la charge (rouge). Les courants de stimulus non conservateurs contiennent une charge non spécifique, et les courants de stimulus conservateurs contiennent des ions de charge et de potassium. Les valeurs de charge sont données sous forme de différences par rapport à la valeur initiale de −5882,2 fmol . T = 310 K . Définitions : V dia , potentiel de membrane diastolique APD, durée du potentiel d'action à 90 % de repolarisation. (Version en ligne en couleur.)

Ces résultats suggèrent que la dérive est due à des violations de la fraction de charge conservée. La charge est une fraction conservée (tableau 1) dans les variantes du modèle où la dérive s'est produite avec un stimulus non conservateur. Dans cette situation, les courants de stimulus non conservateurs provoquent une dérive car chaque stimulus provoque une augmentation progressive de la valeur de la fraction de charge conservée (figure 8une,b panneaux inférieurs). Cependant, étant donné que les lois de conservation sont enfreintes à mesure que davantage d'espèces sont représentées sous forme de chémostats [39], la charge n'est plus une fraction conservée lorsque toutes les concentrations d'ions sont constantes (tableau 1). Ainsi, une observation qui peut ne pas être évidente à l'intuition est que dans ces conditions la charge n'est plus constante entre les stimuli, et donc libre de revenir à sa valeur d'origine après chaque stimulus (figure 8c, panneau inférieur), permettant à ces modèles d'atteindre un cycle limite en régime permanent.

En utilisant les observations de la rangée inférieure de la figure 8, il est possible de développer un contrôle systématique et automatisé de la dérive. Laisser vs être une matrice de lignes représentant la stoechiométrie du courant de stimulus (avec les chémostats supprimés), N cd la matrice stoechiométrique après suppression des lignes correspondant aux chémostats, et g être la matrice d'espaces nuls à gauche de N cd. Comme on le voit dans cette section, un courant de stimulus provoquera une dérive s'il entraîne une modification des fractions conservées GX. Par conséquent, pour éviter d'altérer l'un des fragments conservés, le courant de stimulus doit y avoir une contribution nulle, c'est-à-dire Gvs = 0 (ou de manière équivalente, vs doit mentir à l'image de N cd). Ainsi, le modèle dérive si Gvs≠0.

(d) Les conditions initiales influencent les états d'équilibre à travers des fragments conservés et des chémostats

Ensuite, pour différents ensembles de fragments conservés (tels que déterminés par les concentrations ioniques contraintes/dynamiques), nous avons testé comment le comportement à l'état d'équilibre du potentiel d'action cardiaque était modifié dans trois conditions initiales différentes (figure 9). Le premier ensemble de conditions initiales (IC1) sont des valeurs communes à des fins de comparaison (figure 5 en bas). IC2 est identique à IC1 mais avec 1 mM de K + intracellulaire échangé contre 1 mM de Na + intracellulaire, de sorte que la charge est conservée mais que K + et Na + ne sont pas conservés. De même, IC3 est identique à IC1, mais avec un peu de K + extrudé et une quantité égale de Na + déplacée dans la cellule de telle sorte que la charge, Na + et K + soient tous conservés. Lorsque toutes les concentrations d'ions sont dynamiques, IC1 et IC3 conduisent au même état d'équilibre, mais IC2 entraîne un état d'équilibre différent (figure 9une). Si seules les concentrations d'ions intracellulaires sont dynamiques, cependant, IC1 et IC2 aboutissent à des états d'équilibre identiques, mais IC3 conduit à un état d'équilibre différent (figure 9b). Enfin, le maintien constant de toutes les concentrations d'ions conduit à des états d'équilibre différents pour toutes les conditions initiales (figure 9c).

Figure 9. Effet des conditions initiales sur le comportement en régime permanent. (une) Concentrations d'ions dynamiques (b) Concentrations d'ions intracellulaires dynamiques (c) Concentrations d'ions constantes. Les modèles ont été stimulés à 1 Hz pendant 30 min en utilisant un courant de stimulus conservateur. [MgATP] = 6,95 mM, [MgADP] = 0,035 mM, [Pje] = 0,3971 mM, pH = 7,095, T = 310 K. Définitions : Vdia, potentiel de membrane diastolique APD, durée du potentiel d'action à 90 % de repolarisation. (Version en ligne en couleur.)

Ces résultats démontrent que la quantité additionnée pour chaque fraction conservée et/ou valeur chémostatique détermine le comportement à l'état d'équilibre des modèles de potentiel d'action cardiaque. Pour étudier cela plus en détail, nous avons calculé les valeurs des fractions conservées et des chémostats résultant de chaque condition initiale (tableau 2 différences par rapport à IC1 indiquées en italique). Pour que deux ensembles de conditions initiales atteignent des états stables identiques, toutes les fractions conservées et les chémostats doivent avoir la même valeur. Ainsi, sous des concentrations ioniques dynamiques (figure 9une), IC3 aboutit au même état d'équilibre que IC1 car toutes les fractions conservées ont été préservées (tableau 2), tandis que IC2 provoque un état d'équilibre différent parce que le K + et N / A + les fractions conservées prennent des valeurs différentes. De même, lorsque seules les concentrations d'ions intracellulaires sont dynamiques, IC2 préserve la valeur de toutes les fractions conservées et des chémostats, mais IC3 modifie les valeurs des chémostats correspondant aux concentrations extracellulaires de Na + et K + (tableau 2), d'où l'état d'équilibre différent. Lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, les changements dans les valeurs du chemostat (tableau 2) étaient associés à différents états d'équilibre pour les trois conditions initiales (figure 9c).

Tableau 2. Les valeurs des fractions conservées et des chémostats dans différentes conditions initiales. Toutes les valeurs sont en fmol. Les chémostats sont indiqués par (cs). Les valeurs différentes de IC1 sont indiquées en italique.

4. Discussion

Dans cette étude, nous avons développé un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque dans le but de résoudre les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques. L'analyse utilisant des fragments conservés a permis de découvrir toutes les lois de conservation au sein du modèle, y compris la loi de conservation de charge négligée par de nombreuses études existantes. En plus de la conservation de la loi de charge des études précédentes [10,52,53], nous avons trouvé des lois de conservation correspondant aux ions, aux états des modèles de Markov des canaux et des transporteurs, et des tampons, démontrant l'exhaustivité de notre approche. Parce que l'approche du graphe de liaison nécessite que les espèces et les processus soient résolus dans les détails biophysiques, le calcul des lois de conservation est plus simple que de travailler uniquement avec les équations mathématiques d'un modèle. Deux avantages clés de notre approche par rapport aux analyses existantes sont qu'elle révèle toutes les lois de conservation de manière globale et systématique, et qu'elle est générale pour tous les modèles du potentiel d'action cardiaque qui peuvent être représentés sous forme de graphes de liaison. En conséquence, notre approche peut être adaptée à des modèles cardiaques plus complexes sans examen manuel des équations d'un modèle pour identifier chaque loi de conservation individuelle, et la loi de conservation de charge non triviale sera prise en compte lorsqu'elle apparaîtra comme une fraction conservée. Lorsqu'il est simulé sur de longues périodes avec un stimulus non conservateur, notre modèle de graphe de liaison affichait une dérive de solution, mais il est devenu résistant à la dérive lorsque les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, démontrant que les changements dans la valeur d'une fraction de charge conservée entraînent une dérive du modèle. Nous avons également constaté que deux ensembles de conditions initiales peuvent conduire à des états d'équilibre différents si les valeurs de leurs fractions conservées et chimiostats correspondants sont différentes, suggérant un lien étroit entre les fractions conservées et les cycles limites à l'état d'équilibre des modèles de potentiel d'action cardiaque. Pour démontrer que notre approche est générale, nous avons testé comment la sélection de chémostats (c. Notre approche met en évidence l'observation subtile mais pertinente selon laquelle le maintien des concentrations d'ions constantes modifie les fractions conservées du modèle, ce qui à son tour a un effet sur la susceptibilité d'un modèle à la dérive et à des états stables non uniques. Parce que les chémostats représentent des connexions entre un système et son environnement externe, ils sont essentiels pour coupler les processus biologiques [23]. Le couplage de processus biologiques provoque généralement des changements dans les lois de conservation d'un système qui peuvent être difficiles à saisir par l'observation. Notre approche utilisant des graphes de liaisons fournit une méthode systématique de traitement des modifications des lois de conservation résultant du couplage de modèles entre eux.

(a) Dérive

Rythmées par un stimulus non conservateur, les variantes du modèle avec une loi de conservation de charge (A et B) ont subi une dérive (figure 8une,b) cohérent avec les études précédentes sur le modèle Luo-Rudy [10,11]. Nos observations expliquent également pourquoi les modèles avec des concentrations d'ions constantes (similaires à la variante C) sont plus susceptibles d'être résistants à la dérive [10]. En observant les changements dans la fraction de charge conservée, l'approche du graphe de liaison attribue la dérive à des perturbations régulières de la charge qui ne peuvent pas être restaurées en raison de la présence d'une loi de conservation. Alors que les analyses précédentes reposaient uniquement sur l'intuition pour dériver une loi de conservation correspondant à la charge [10,11], nous notons que notre approche dérive automatiquement cette loi de conservation, et peut également détecter d'autres lois de conservation qui peuvent être pertinentes pour la dérive.

Nous notons que pour éviter la dérive, toutes les moitiés conservées (et pas seulement la moitié conservée correspondant à la charge) doivent être préservées par le courant de stimulus. Cependant, dans les exemples explorés dans cette étude, nous avons constaté que les courants de stimulus préservaient la valeur de toutes les fractions conservées en dehors de la charge, et n'étaient donc pas tracés. Alors que l'intuition peut suggérer que la modélisation d'un courant de stimulus avec K + provoquerait une accumulation de K + intracellulaire, le K + est transporté passivement à travers les canaux K +. De plus, la quantité totale de K + (la fraction conservée pertinente) reste constante car la perte de K + du côté extracellulaire est compensée par l'accumulation du côté intracellulaire. En revanche, pour la conservation de charge dans les variantes A et B, le modèle ne contient aucun mécanisme pour inverser le changement de différence de charge causé par le courant non conservateur, ce qui entraîne une dérive.

Comme démontré, la méthode du graphe de liaison nécessite la construction d'une matrice stoechiométrique, fournissant une approche simple pour vérifier si un courant de stimulus provoquera une dérive. Bien qu'il soit courant d'utiliser K + comme porteur de charge pour les courants de stimulation, il est probable que plusieurs espèces contribuent au courant [8,10]. Ainsi, l'approche automatisée suggérée ici est bien adaptée pour vérifier si des courants de stimulus plus complexes satisfont à la conservation de la charge, ainsi qu'à d'autres lois de conservation au sein du modèle. Il convient de noter, cependant, que si un modèle satisfaisant Gvs = 0 ne dérivera pas en raison de la violation des lois de conservation, une dérive peut toujours se produire en raison d'un déséquilibre des courants dans tout le potentiel d'action, par exemple, en l'absence de Na + /K + ATPase, les gradients ioniques disparaîtraient progressivement dans un modèle avec concentrations d'ions dynamiques.

Enfin, nous pensons que cette analyse fournit un lien entre les problèmes de dérive et les états stationnaires. Nos modèles montrent que la dérive due à un courant de stimulus non conservateur peut être attribuée à des changements dans la valeur de la fraction conservée de charge avec chaque stimulus, et par conséquent l'état d'équilibre du modèle change. La dérive du modèle se produit alors alors que la solution poursuit continuellement un état stable en mouvement.

(b) Effets des conditions initiales sur les états stationnaires

Nous avons également constaté que les conditions initiales des modèles de potentiel d'action cardiaque modifient leurs états d'équilibre à travers les valeurs des chémostats et des fractions conservées (figure 9 et tableau 2). En conséquence, la même perturbation des conditions initiales peut avoir des effets différents sur l'état d'équilibre selon les espèces maintenues constantes. Par conséquent, en plus de s'assurer que la concentration d'ions est physiologique, il faut veiller à initialiser correctement chaque état des tampons et des modèles de Markov des canaux ioniques et des transporteurs d'ions, car ils peuvent contenir une fraction importante de l'abondance totale des ions. Par exemple, les tampons Ca 2+ et SERCA peuvent séquestrer une quantité significative de Ca 2+ et ils doivent être initialisés avec la quantité correcte de Ca 2+ lié lorsque des modèles multi-états sont utilisés [54]. Nous notons que la difficulté de dériver manuellement les lois de conservation augmente de façon exponentielle à mesure que les modèles d'électrophysiologie cardiaque deviennent plus complexes, et nous pensons que notre approche s'étend sur les analyses existantes [10,11] pour fournir une méthode générale d'évaluation du comportement à l'état d'équilibre en comparant les les valeurs des fragments conservés et des chémostats qui résultent de chaque condition initiale.

Dans le domaine de l'analyse des réseaux biochimiques, il existe une dépendance bien établie des états stables au repos sur les fragments conservés, et de nombreuses techniques mathématiques pour évaluer l'unicité et la stabilité de ces états stables ont été développées [55,56]. Cependant, l'influence des fragments conservés sur les cycles limites dans un système oscillant régulièrement stimulé reste à étudier. Nos résultats suggèrent des similitudes entre ces deux domaines, et bien que nous n'ayons testé l'unicité des états stables qu'en utilisant des perturbations relativement faibles des conditions initiales, il est possible qu'un ensemble de fractions conservées puisse avoir plusieurs états stables, et des perturbations plus importantes peuvent conduire à autres cycles limites.

(c) Les méthodes « différentielle » et « algébrique »

La découverte des principes de conservation en électrophysiologie cardiaque a conduit à un débat sur l'opportunité d'utiliser les méthodes différentielles ou algébriques de simulation [7,10,11,52,53]. La méthode différentielle est le calcul de la tension membranaire en intégrant le courant total, et la méthode algébrique est le calcul de la tension membranaire en utilisant une relation algébrique dérivée de la conservation de la charge. Nous avons choisi la méthode différentielle plutôt que la méthode algébrique car elle prend mieux en charge la réutilisation et la modularité des modèles - en particulier, il est plus facile de modifier les équations pour sélectionner différentes espèces comme chémostats, et de combiner les équations lorsque deux modèles sont couplés. Nous notons, cependant, que la méthode algébrique peut réduire la complexité de calcul [10,20]. Dans la modélisation de graphes de liaisons, la méthode algébrique peut être implémentée en utilisant des fragments conservés pour transformer le système d'EDO en une équation algébrique différentielle (DAE) d'indice 0 (éqn 3.48 de [20]). Cette méthode généralise les méthodes algébriques existantes pour réduire le système d'équations différentielles en utilisant toutes les fractions conservées et pas seulement la fraction de charge conservée.Bien que nous n'ayons pas utilisé l'approche algébrique, nous soulignons que le choix de la méthode concerne des approches numériques pour la simulation de modèles plutôt que la physique sous-jacente du système [10]. Par conséquent, les méthodes différentielles et algébriques sont équivalentes dans les systèmes conservateurs à condition que les conditions initiales et les valeurs des fragments conservés soient cohérentes.

(d) Intégration dans des modèles de cellules entières

Notre modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque est la première étape vers un modèle de graphe de liaison de cellule entière entièrement intégré d'un cardiomyocyte qui couple l'électrophysiologie, la signalisation, le métabolisme et la mécanique. Comme l'énergie est le moteur de tous les processus biologiques et que l'approvisionnement en énergie peut être limité dans certains états physiopathologiques, il est intéressant d'examiner comment les cardiomyocytes allouent leur énergie, et également d'estimer l'efficacité des processus essentiels à la fonction des cardiomyocytes [57,58]. Des études de modélisation pour la régulation énergétique d'une cellule cardiaque existent dans la littérature [58], mais alors que certains composants utilisés dans ces modèles sont thermodynamiquement cohérents [59, 60], les modèles de cellules entières existants ne sont ni basés sur l'énergie ni thermodynamiquement cohérents dans l'ensemble du modèle entier. De plus, étant donné que les études expérimentales et de modélisation existantes utilisent la consommation d'ATP comme proxy de la consommation d'énergie, elles ne peuvent estimer la consommation d'énergie que des principaux puits d'énergie : la Na + /K + ATPase, SERCA et le cycle crossbridge [58,61]. Une approche de graphe de liaison peut ainsi fournir des informations plus détaillées sur la façon dont une cellule cardiaque utilise l'énergie en aval des processus d'hydrolyse de l'ATP et aider à identifier les processus consommateurs d'énergie. Parce que l'approche bond graph est basée sur l'énergie, elle fournit non seulement les contraintes nécessaires pour développer un modèle thermodynamiquement cohérent, mais nous permet également d'évaluer directement la consommation d'énergie du modèle (en Joules). Nous avons constaté que lorsqu'il est normalisé par rapport à la surface de la membrane, le potentiel d'action cardiaque consomme environ 76 % plus d'énergie qu'un potentiel d'action dans l'axone d'un calmar géant. A la connaissance des auteurs, il s'agit du premier bilan de l'énergie consommée par les processus électrochimiques au cours du potentiel d'action cardiaque.

(e) Limites

Une limitation de notre approche est que les contraintes physiques imposées par l'approche bond graph empêchent la traduction directe des modèles existants d'électrophysiologie cardiaque en bond graphs. Cela met en évidence les problèmes thermodynamiques qui existent dans les modèles existants d'électrophysiologie cardiaque alors que de nombreux modèles contiennent des composants thermodynamiquement cohérents, les auteurs ne connaissent aucun modèle entièrement thermodynamiquement cohérent. Néanmoins, l'incapacité de reproduire parfaitement les propriétés des modèles existants en tant que graphes de liaisons empêche la création de modèles de graphes de liaisons d'électrophysiologie cardiaque, car elle nécessite la construction de nouveaux modèles de bas en haut avec des équations existantes utilisées uniquement comme guides pour l'ajustement des paramètres. En raison de cette limitation, notre modèle de graphe de liaison ne représente qu'un sous-ensemble des processus de transport d'ions au sein d'un cardiomyocyte et ne fait qu'approcher le comportement décrit dans les modèles existants. Bien que notre modèle soit capable de reproduire de nombreuses caractéristiques essentielles du potentiel d'action, il est peu probable qu'il soit physiologiquement réaliste dans des conditions différentes de celles utilisées pour notre processus d'ajustement. Ainsi, dans de futures études, il serait intéressant d'explorer l'utilisation de composants de graphes de liaisons plus complexes pour générer des modèles plus réalistes sur le plan physiologique. Nous avons choisi d'utiliser un ensemble restreint de composants et d'équations constitutives pour garder le modèle simple, bien que le cadre du graphe de liaisons soit suffisamment flexible pour prendre en compte un plus large éventail d'équations à condition qu'elles soient thermodynamiquement cohérentes. Alors que de nombreux canaux ioniques (y compris ceux pour jeN / A, jeK1 et jeKp dans le modèle de Luo et Rudy) sont modélisés à l'aide de relations I-V linéaires, le choix de la relation I-V est généralement choisi sur la base d'un ajustement empirique aux données plutôt que sur la base de principes physiques. Ainsi, une approche plus idéale consisterait à utiliser des composants de graphe de liaison non linéaires dérivés de principes physiques et à adapter leurs paramètres directement aux données expérimentales. De plus, les équations empiriques pour les paramètres de transition de déclenchement ne sont généralement pas exprimées dans un cadre thermodynamique et sont donc impossibles à reproduire exactement avec un modèle de graphe de liaison. Nous avons utilisé un mécanisme de déclenchement simple pour réduire la complexité des équations tout en maintenant la cohérence thermodynamique. Cependant, la qualité de l'ajustement pourrait être améliorée en utilisant des mécanismes de déclenchement plus compliqués ou d'autres équations constitutives thermodynamiquement cohérentes.

En raison des restrictions physiques imposées par le cadre des graphes de liaisons, nous avons été obligés de modéliser les canaux et les transporteurs ioniques en utilisant les états de Markov pour représenter fidèlement leur physique sous-jacente. Cependant, cela a produit un modèle qui avait de nombreux états par rapport au nombre de processus biologiques. Bien qu'il soit rassurant de constater que notre méthode d'identification des fragments conservés est restée robuste malgré cette complexité, la simulation du modèle était coûteuse en temps de calcul. Dans le but d'intégrer ce modèle de potentiel d'action dans un modèle de cellule entière plus large, il serait utile d'avoir des composants de modèle simples qui réduisent les coûts de calcul. Bien que les méthodes actuelles de réduction des modèles biochimiques dans le cadre des graphes de liaisons ne soient pas suffisamment avancées pour s'appliquer aux composants biologiques de cette étude, nous notons que les graphes de liaisons fournissent une base utile pour appliquer la simplification des modèles tout en garantissant le maintien de la cohérence thermodynamique [20].

Nous avons également décidé de limiter les processus de transport inclus dans notre modèle à ceux considérés comme essentiels pour produire un potentiel d'action cardiaque, tout en maintenant un cycle limite utilisant des concentrations ioniques dynamiques. Notre modèle de graphe de liaison a omis de nombreux courants ioniques en raison de leurs petites amplitudes, cependant, ces canaux peuvent avoir des contributions plus importantes dans des conditions qui varient de celles testées ici. Ainsi, une extension évidente de ce travail serait l'intégration d'autres processus électrogènes au sein de la membrane cardiaque. Il serait intéressant d'étudier si le couplage d'autres modèles nécessite un réglage supplémentaire des paramètres [62], et si la présence de paramètres physiques du graphe de liaison modifie ce processus. Une limitation connexe est que notre modèle ne tient pas compte des concentrations d'ions telles que H + et Cl − , ainsi que des tampons pH [5]. Bien que l'inclusion de ces ions et de leurs transporteurs conduirait à un modèle plus précis, l'omission de ces ions n'a pas causé d'incohérences dans les lois de conservation décrites dans cette étude. Ces ions ont été supposés être imperméables à la membrane dans notre modèle, et donc leurs contributions constantes au potentiel de membrane ont été prises en compte dans la valeur initiale de la fraction de charge conservée. Semblable à la façon dont le calcium et ses tampons ont été pris en compte dans notre approche actuelle (tableau 1), notre approche de graphe de liaison est suffisamment générale pour prendre en compte d'autres ions et leurs tampons.

Lors de la formulation de la structure et des paramètres d'un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque (ou de la plupart des autres processus biologiques), il est possible de s'adapter aux modèles mathématiques existants ou aux mesures expérimentales sous-jacentes. Pour tous les processus de cette étude à l'exception du NCX, nous avons développé notre modèle de graphe de liens pour reproduire le comportement d'un modèle existant, dans une tentative de réutiliser les connaissances existantes sur ces processus. Cette approche pose des contraintes sur la structure de graphe de liaison utilisée, en particulier pour la structure de grille. Par conséquent, il serait intéressant de développer une approche qui évalue les structures des bond graphs ainsi que les paramètres des bond graphs, en fonction de leurs ajustements aux données [62]. Une telle approche peut fournir un meilleur ajustement aux données et révéler des informations sur les mécanismes physiques des canaux ioniques.

5. Conclusion

Dans cette étude, nous avons développé un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque et l'avons utilisé pour explorer les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques. Nous démontrons que l'analyse des fragments conservés généralise le concept de conservation de charge utilisé dans des études antérieures, et avons constaté que les changements dans les fragments conservés peuvent expliquer la dérive ainsi que les changements de comportement à l'état d'équilibre. Il est important de noter que le maintien des concentrations d'ions constantes peut avoir des conséquences importantes à la fois sur la dérive et les états d'équilibre, car ils modifient les fractions conservées dans le modèle. Notre approche pour résoudre la dérive et les états stables non uniques est suffisamment générale pour pouvoir être appliquée à n'importe quel modèle de graphe de liaison du modèle de potentiel d'action cardiaque. Nous espérons que l'approche du graphe de liaison décrite ici s'avérera utile pour le développement de futurs modèles d'électrophysiologie cardiaque et, éventuellement, de modèles à cellules entières du cardiomyocyte.

Accessibilité des données

Le code associé à cette étude est disponible sur GitHub (https://github.com/uomsystemsbiology/bond_graph_cardiac_AP), et archivé sur Zenodo (https://doi.org/10.5281/zenodo.1172205) [63]. Le référentiel contient le code Matlab (The MathWorks, Natick, MA) qui génère les figures, le code CellML contenant les paramètres, les conditions initiales et les équations du modèle, et tous les détails de la structure du graphe de liaison.

Contributions de l'auteur

M.P., P.J.G., J.C. et E.J.C. développé la théorie. député effectué la recherche. K.T. fourni des conseils conceptuels et aidé à interpréter les résultats. Tous les auteurs ont contribué au texte du manuscrit et ont donné leur approbation finale pour la publication.

Intérêts concurrents

Nous n'avons pas d'intérêts concurrents.

Le financement

député reconnaît le soutien financier fourni par une bourse du programme de formation à la recherche du gouvernement australien. P.J.G. remercie la Melbourne School of Engineering pour son soutien via une bourse professorale. K.T. est soutenu par la Heart Foundation of New Zealand (Research Fellowship 1692) et le Marsden Fund Council grâce à un financement gouvernemental, géré par la Royal Society Te Ap a ¯ rangi (Marsden Fast-Start UOA1703. Cette recherche a été en partie menée et financée par l'Australien Programme de financement des projets de découverte du Conseil de recherche (projet DP170101358).


Introduction

Les neurones communiquent via des signaux chimiques et électriques, et une partie intégrante de cette communication est la transmission de potentiels d'action le long de leurs axones. La vitesse des potentiels d'action est cruciale pour le bon timing dans le traitement de l'information et dépend de la dynamique des canaux ioniques parsemant l'axone, mais aussi de ses propriétés géométriques. Par exemple, la vitesse augmente approximativement linéairement avec le diamètre des axones myélinisés [1]. Les gaines de myéline autour des axones sont un trait évolutif chez la plupart des vertébrés et certains invertébrés, qui se sont développés indépendamment dans plusieurs taxons [2]. La présence d'une gaine de myéline augmente la vitesse des potentiels d'action en permettant la conduction saltatoire [3]. Les modifications à long terme et dépendantes de l'activité de l'état de myélinisation des axones sont liées à l'apprentissage [4]. Le rôle fonctionnel de la myélinisation différenciée est de réguler et de synchroniser la transmission du signal à travers différentes fibres axonales pour permettre la fonction cognitive, l'intégration sensorielle et la motricité [5]. L'architecture de la substance blanche s'est également avérée affecter la fréquence maximale du rythme alpha [6]. Les axones et leurs cellules de soutien constituent la substance blanche, qui n'a longtemps été accessible qu'aux études histologiques [7, 8]. Avec l'avènement des techniques avancées d'IRM, certains des paramètres géométriques des faisceaux de fibres axonales sont devenus accessibles à des méthodes non invasives. Des techniques ont été proposées pour déterminer l'orientation des faisceaux de fibres dans la substance blanche [9] ainsi que pour estimer la distribution des diamètres axonaux [10], la densité de tassement des axones dans un faisceau de fibres [11, 12] et le rapport des diamètres de l'axone et de la gaine de myéline (rapport g) [13].

Les premières études quantitatives ont été réalisées par Hursh [14] qui a établi la relation (approximativement) linéaire entre la vitesse du potentiel d'action et le rayon axonal dans les axones myélinisés, et Tasaki [3] qui a le premier décrit la conduction saltatoire dans les axones myélinisés. Des travaux fondateurs sur la dynamique des canaux ioniques ont été réalisés plus tard par Hodgkin et Huxley, établissant la dépendance à la tension des courants des canaux ioniques [15]. Le résultat général du déclenchement dépendant de la tension a été confirmé chez les vertébrés [16], mais un résultat récent pour les mammifères suggère que la dynamique de déclenchement des canaux sodiques est plus rapide que celle décrite par le modèle original de Hodgkin-Huxley, permettant ainsi une génération et une transmission plus rapides de potentiels d'action [17]. En général, les paramètres déterminant la dynamique des canaux diffèrent largement selon les types de neurones [18].

Des études fondamentales sur la propagation du signal dans les axones myélinisés à l'aide de techniques informatiques ont été réalisées par FitzHugh [19] et Goldman et Albus [20]. Goldman et Albus ont donné la première preuve informatique de l'augmentation linéaire de la vitesse de conduction avec le rayon de l'axone, à condition que la longueur des segments myélinisés augmente également linéairement avec le rayon axonal. La relation linéaire est soutenue par des preuves expérimentales [21], bien que d'autres études suggèrent une relation légèrement non linéaire [22]. Plus récemment, des études informatiques ont étudié le rôle de la gaine de myéline et la relation entre des modèles de complexité différente avec des résultats expérimentaux [23]. L'une des principales découvertes ici était que seule une gaine de myéline avec une capacité et une résistance finies reproduisait les résultats expérimentaux pour la vitesse de conduction axonale. D'autres études ont étudié le rôle de la largeur des nœuds de Ranvier sur la propagation du signal [24, 25], ou l'effet du couplage éphaptique sur la propagation du signal [26–33].

La plupart des études informatiques utilisent des schémas numériques, c'est-à-dire qu'elles discrétisent le problème mathématique dans l'espace et le temps et utilisent des méthodes d'intégration numérique pour étudier la propagation des potentiels d'action. Un problème qui se pose ici est que la discrétisation spatiale doit être relativement grossière pour assurer la stabilité numérique, ce qui peut être résolu dans une certaine mesure par des méthodes numériques avancées et un effort de calcul [34]. L'autre problème, cependant, ne peut pas être résolu aussi facilement : c'est le manque de compréhension de la façon dont les paramètres du modèle influencent les résultats, car il y a un grand nombre de paramètres impliqués. Un moyen d'illustrer efficacement les dépendances des paramètres consiste à utiliser des techniques analytiques tout en simplifiant les équations du modèle et en extrayant les caractéristiques essentielles. Les études qui utilisent des méthodes analytiques sont rares [35-38] mais il convient également de noter que d'un point de vue mathématique, les axones myélinisés sont similaires aux dendrites cloutées dans la colonne vertébrale, en ce sens que les unités actives sont couplées par des câbles passifs à fuite. Une idée que nous retenons de ce dernier est de simplifier les courants ioniques traversant la membrane [39, 40], là au niveau des épines dendritiques médiées par des neurotransmetteurs, ici au niveau des nœuds de Ranvier médiés par une dynamique voltage-dépendante.

Le but de cet article est d'étudier par des méthodes analytiques l'influence des paramètres contrôlant la génération du potentiel d'action, et des paramètres géométriques et électrophysiologiques de l'axone myélinisé, sur la vitesse des potentiels d'action. L'accent est mis ici sur les paramètres déterminant la structure axonale. Ceci sera réalisé en remplaçant la dynamique de Hodgkin-Huxley par un modèle pointe-diffuse-pointe pour la génération de potentiel d'action, c'est-à-dire que des courants ioniques sont libérés aux nœuds de Ranvier lorsque le potentiel membranaire atteint un certain seuil. Ces courants de canaux ioniques sont considérés comme indépendants de la tension, mais nous étudions différentes formes de courants, allant des courants instantanés aux courants qui incorporent des retards. Nous étudions également les courants ioniques qui ressemblent étroitement aux courants de sodium mesurés expérimentalement. Notre objectif est de dériver des solutions de forme fermée pour le potentiel de membrane le long d'un axone, ce qui donne la relation entre la vitesse du potentiel d'action et les paramètres du modèle.

Les questions spécifiques auxquelles nous cherchons à répondre ici sont les suivantes. Tout d'abord, nous demandons comment les paramètres physiologiques peuvent être incorporés dans notre cadre mathématique, en particulier les paramètres qui contrôlent la dynamique des courants ioniques. Nous testons si les paramètres de la littérature donnent des résultats physiologiquement plausibles pour la forme et l'amplitude des potentiels d'action, et testons comment les courants ioniques de plusieurs nœuds voisins de Ranvier contribuent à la formation de potentiels d'action. Deuxièmement, nous demandons comment les paramètres géométriques d'un axone affectent la vitesse de transmission dans un seul axone, et quelle est la sensibilité de la vitesse de transmission aux changements de ces paramètres. Nous cherchons à reproduire des résultats connus de la littérature, tels que la dépendance de la vitesse sur le diamètre des axones. Nous explorons également d'autres dépendances, telles que le rapport g, et d'autres paramètres structurels microscopiques résultant de la myélinisation. Nous comparons les résultats de notre modèle pointe-diffuse-pointe avec les résultats d'un modèle biophysique détaillé récemment utilisé pour étudier l'effet de la longueur des nœuds et des entre-nœuds sur la vitesse du potentiel d'action [24]. Troisièmement, nous étudions comment le couplage éphaptique affecte la vitesse de transmission des potentiels d'action, et quelles sont les conditions pour que les potentiels d'action se synchronisent. En particulier, nous examinons comment l'espace extra-axonal restreint conduit au couplage entre deux axones identiques, et comment les potentiels d'action voyageant à travers les axones couplés interagissent.


Inhibition proton-dépendante, activation de tension inversée et déclenchement lent du canal chlorure CLC-0

Le CLC-0, un prototype de canal Cl − de la famille CLC, utilise deux mécanismes de déclenchement qui contrôlent son pore de perméation ionique : le déclenchement rapide et le déclenchement lent. La chaîne latérale chargée négativement d'un résidu de glutamate de pore, E166, est connue pour être la porte rapide, et l'oscillation de cette chaîne latérale ouvre ou ferme le pore de CLC-0 à l'échelle de la milliseconde. L'autre mécanisme de déclenchement, le déclenchement lent, fonctionne avec une cinétique beaucoup plus lente de l'ordre de quelques secondes à des dizaines voire des centaines de secondes, et on pense qu'il implique des réarrangements conformationnels encore inconnus. Ici, nous constatons que le faible pH intracellulaire (pHje) facilite la fermeture de la porte lente du CLC-0, générant ainsi une inhibition de courant. Le taux de pH basje-L'inhibition du courant induit augmente avec la concentration intracellulaire de H + ([H + ]je)—les constantes de temps de l'inhibition du courant par un faible pHje = 4,5, 5,5 et 6 sont respectivement d'environ 0,1, 1 et 10 s à température ambiante. En comparaison, la constante de temps de la fermeture lente de la porte à pHje = 7,4 à température ambiante correspond à des centaines de secondes. L'inhibition par pH basje est significativement moins importante chez les mutants favorisant l'état ouvert de la porte lente (tels que C212S et Y512A), ce qui confirme encore le fait que le H + intracellulaire améliore la fermeture de la porte lente dans CLC-0. Une inhibition rapide par pH basje provoque une activation apparente dépendante de la tension inversée dans le CLC-0 de type sauvage, un comportement similaire à ceux de certains mutants de canaux tels que V490W dans lesquels seule l'hyperpolarisation membranaire peut ouvrir le canal. Fait intéressant, lorsque la mutation V490W est construite à l'arrière-plan de la mutation C212S ou Y512A, l'activation dépendante de la tension inversée disparaît. Nous proposons que la cinétique lente de la fermeture de la porte lente de CLC-0 peut être due à une faible [H + ]je plutôt qu'en raison du grand changement de conformation proposé de la protéine du canal. Nos résultats suggèrent également que l'ouverture dépendant de la tension inversée observée dans certains canaux mutants peut résulter de la fermeture rapide de la porte lente par les mutations.


Résumé

Les modèles mathématiques des potentiels d'action cardiaque sont devenus de plus en plus importants dans l'étude des maladies cardiaques et de la pharmacologie, mais des inquiétudes persistent quant à leur robustesse pendant de longues périodes de simulation, en particulier en raison de problèmes tels que la dérive du modèle et les états stables non uniques. Des études antérieures ont lié ceux-ci à la violation des lois de conservation, mais n'ont exploré que ces problèmes en ce qui concerne la conservation de la charge dans des modèles spécifiques. Ici, nous proposons une méthode générale et systématique d'identification des lois de conservation cachées dans les modèles d'électrophysiologie cardiaque en utilisant des graphes de liaison, et développons un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque pour étudier le comportement à long terme. Les graphes de liaison fournissent un cadre explicite basé sur l'énergie pour la modélisation des systèmes physiques, ce qui les rend bien adaptés à l'examen de la conservation dans les modèles électrophysiologiques. Nous constatons que les lois de conservation de charge dérivées des études précédentes sont des exemples du concept plus général de « motif conservé ». Les fragments conservés expliquent la dérive du modèle et les états stables non uniques, généralisant les résultats des études précédentes. L'approche du graphe de liaison fournit une méthode rigoureuse pour vérifier la dérive et les états stables non uniques dans un large éventail de modèles de potentiel d'action cardiaque, et peut être étendue pour examiner les comportements d'autres systèmes excitables.

1. Introduction

Des modèles du potentiel d'action cardiaque ont été développés pour étudier les maladies cardiaques, telles que l'arythmie [1–3], l'ischémie [4] et l'acidose [5]. La complexité croissante des modèles a suscité des inquiétudes quant à l'apparition de dérives et d'états stationnaires non uniques [6–8], en particulier pour les extensions des modèles DiFrancesco & Noble [9] et Luo–Rudy [1,3]. Bien que des solutions à ces problèmes aient été proposées en utilisant des principes de conservation [10,11], elles n'ont pas été universellement appliquées pour les modèles plus récents, dont beaucoup utilisent encore des courants de stimulation non conservateurs qui les prédisposent à la dérive [12-14]. Plus récemment, la Food and Drug Administration (FDA) a lancé des plans pour utiliser des modèles de potentiel d'action cardiaque pour évaluer les effets secondaires potentiels des médicaments sur l'instabilité cardiaque à travers l'homme. éther-à-go-go-canal K + du gène apparenté (hERG). Ainsi, en mettant de plus en plus l'accent sur la robustesse et la précision du modèle, il existe une incitation renouvelée à résoudre les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques [15,16].

La dérive est l'échec d'un modèle à atteindre un cycle limite cohérent lorsqu'il est simulé sur de longues périodes, et est souvent causé par un stimulus non conservateur contenant un courant sans porteur de charge [6,10]. Hunt et al. [10] ont dérivé une loi de conservation de charge et ont constaté que les courants de stimulus non conservateurs violent cette loi de conservation, ils ont donc proposé des ions K + comme porteurs de charge actuels pour résoudre ce problème. Un problème connexe dans de nombreux modèles où la dérive a été résolue est que les cycles limites en régime permanent sous stimulation constante dépendent des conditions initiales et ne sont donc pas uniques [7,8,10]. Ainsi, selon les conditions initiales, un même modèle peut conduire à des conclusions différentes. Comme la dérive, les auteurs ont suggéré que la conservation de la charge peut contraindre les conditions initiales de telle sorte qu'elles conduisent au même état stationnaire [8,10,11].

Alors que les études de Hund et al. [10] et Livshitz & Rudy [11] suggèrent des mesures pour éliminer la dérive et atteindre un état stable unique en utilisant des lois de conservation, leurs analyses sont limitées dans leur portée et ne constituent pas une solution complète pour tous les modèles. Étant donné que les études existantes [10,11] explorent la conservation de la charge uniquement dans des modèles spécifiques et que les lois de conservation sont dérivées de l'intuition physique plutôt que d'une approche mathématique fondée sur des principes, il est difficile de généraliser leurs conclusions à d'autres modèles où la conservation de la charge est systématiquement négligée. De plus, parce que ces études se concentrent uniquement sur la conservation de la charge, elles peuvent manquer d'autres lois de conservation pertinentes pour le comportement à long terme, telles que celles correspondant aux ions, aux canaux ioniques et aux tampons. Une approche générale est donc souhaitable pour traiter les problèmes de dérive et d'états stationnaires de manière plus systématique et pour une gamme plus large de modèles.

Pour faciliter une approche générale, nous proposons l'utilisation de graphes de liaisons qui modélisent explicitement le transfert d'énergie à travers les systèmes physiques pour assurer le respect des principes de conservation. Les Bond graphs ont été initialement inventés pour modéliser les systèmes hydroélectriques [17] et ils ont ensuite été étendus pour modéliser les systèmes chimiques [18], biochimiques [19,20] et électrochimiques [21]. Comme pour tous les systèmes physiques, les processus biologiques doivent obéir aux principes fondamentaux de la physique et de la thermodynamique [22], par conséquent, les graphes de liaisons sont bien adaptés pour contraindre les modèles de systèmes biologiques à des solutions physiquement plausibles [23], et également pour déduire le coût énergétique des systèmes biologiques. processus [21,23-25]. Parce que la représentation du graphe de liaison met l'accent sur les analogies entre différents domaines physiques, les systèmes électrophysiologiques peuvent être analysés comme un système biochimique analogue avec une matrice stoechiométrique qui décrit la stoechiométrie de chaque réaction dans ses colonnes [20,26-28]. Dans ce contexte, le «principe de conservation» décrit dans des études antérieures est un exemple du principe plus général d'une partie conservée dans l'analyse métabolique et des graphes de liaison [23,29].

Dans cette étude, nous développons un modèle de graphe de liaison abrégé du potentiel d'action cardiaque et décrivons une approche générale pour étudier les effets des fractions conservées sur la dérive et le comportement à l'état d'équilibre. Notre modèle de graphe de liaison simule les caractéristiques essentielles du potentiel d'action cardiaque, et comme les graphes de liaison sont basés sur l'énergie, cela fournit facilement une estimation du coût énergétique (en Joules) du potentiel d'action cardiaque. Notre analyse révèle la conservation de la charge comme l'une des fractions conservées de notre modèle, ainsi que d'autres fractions conservées correspondant aux ions, canaux, transporteurs et tampons. Nous avons observé que notre solution modèle était sujette à la dérive lorsque le courant de stimulus violait les lois de conservation correspondant aux fragments conservés, et que les modifications des conditions initiales conduisaient à des états stables différents si la valeur d'un fragment conservé était modifiée. Pour démontrer que notre approche est générale, nous analysons des variantes de notre modèle de graphe de liaison où différents ions ont été fixés à une concentration constante (correspondant à des « chemostats »). Il convient de noter que la fixation d'une concentration ionique peut modifier les fragments conservés d'un système, influençant ainsi la susceptibilité d'un modèle à la dérive et aux états stables non uniques. L'approche du graphe de liaison est une méthode utile et générale pour identifier et interpréter les principes de conservation, et elle peut lier des fragments conservés à des états stables individuels. Notre approche peut être utilisée pour dériver automatiquement des lois de conservation de charge qui sont fréquemment négligées dans les modèles existants d'électrophysiologie cardiaque, et nous nous appuyons sur des rapports existants [10,11] pour proposer des solutions pour la dérive et les états stables non uniques qui fonctionnent pour toutes les actions cardiaques. des modèles potentiels pouvant être représentés à l'aide de graphiques de liaisons.

2. Méthodes

(a) Composants du modèle

Pour étudier les problèmes de dérive et d'états d'équilibre non uniques, nous avons construit un modèle de graphe de liaison abrégé du potentiel d'action cardiaque, avec le nombre minimal de canaux et de pompes nécessaires pour simuler les caractéristiques essentielles d'un potentiel d'action cardiaque et maintenir les concentrations ioniques. sur de longues périodes de simulation. Nous notons qu'une série d'équations mathématiques ne peut être décrite à l'aide de graphes de liaisons que si elles décrivent un système thermodynamiquement cohérent, et qu'aucun modèle existant d'électrophysiologie cardiaque n'est entièrement cohérent thermodynamiquement. Comme on le voit dans Gawthrop et al. [21], une traduction exacte des modèles de canaux ioniques existants dans le cadre du graphe de liaison n'est généralement pas possible. Par conséquent, pour certains processus de transport et en particulier pour les canaux ioniques, il a été nécessaire de construire de nouveaux modèles dans le cadre du graphe de liaison, bien que leurs paramètres et leur structure puissent être choisis en fonction des équations des modèles existants. En conséquence, bon nombre des composants essentiels de notre modèle étaient principalement basés sur le modèle dynamique Luo-Rudy 1994 [1], bien qu'il soit possible d'utiliser d'autres modèles et/ou de modéliser des processus plus subcellulaires. Nous soutenons au §2c que certains aspects des équations pour les canaux ioniques décrits dans le modèle de Luo et Rudy ne sont pas thermodynamiquement cohérents et ne peuvent pas être représentés sous forme de graphes de liaison. Nous décrivons notre approche de modélisation des canaux ioniques au §2d. Comme nous utilisons des structures de graphe de liaison simples et élémentaires basées sur des principes physiques, notre représentation de graphe de liaison des canaux ioniques est une approximation physiquement contrainte des équations décrites dans Luo et Rudy, bien qu'elle soit toujours capable de simuler les caractéristiques essentielles du potentiel d'action cardiaque. .

Les composants du modèle sont illustrés à la figure 1une, ainsi que la structure globale du graphe de liaison (figure 1b). Les canaux ioniques et les composants tampons Ca 2+ étaient basés sur leurs représentations dans Luo & Rudy [1]. Le canal Ca + de type L dans le modèle Luo-Rudy est perméable au calcium, au sodium et au potassium, mais nous avons négligé sa conductance sodique car elle a une contribution relativement faible au potentiel d'action. Le modèle Na + /K + ATPase était basé sur le modèle de Terkildsen et al. [4], avec les modifications suggérées par Pan et al. [30] pour permettre la conversion en un modèle de graphe obligataire. L'équation pour le courant de l'échangeur Na + –Ca 2+ (NCX) dans Luo et Rudy n'avait pas de correspondance évidente avec une structure de graphe de liaison, nous avons donc modélisé cette composante à l'aide d'un simple module de graphe de liaison qui a été adapté aux données expérimentales [31 ,32]. L'approche générale pour la modélisation des canaux ioniques est décrite plus loin dans les méthodes, avec des détails sur les autres composants, ainsi que des détails supplémentaires sur la modélisation des canaux ioniques donnés dans le matériel électronique supplémentaire.

Figure 1. Modèle de potentiel d'action. (une) Schéma de cellule, (b) structure globale du graphe de liaison. Les modules de graphe de liaison Na_channel, NaK, K_channels, LCC, NCX et Ca_buffer contiennent des aspects plus détaillés de la structure de graphe de liaison qui sont décrits plus en détail dans les Méthodes et matériel électronique supplémentaire. Des liaisons colorées relient les modules de graphes de liaisons aux espèces chimiques appropriées. Définitions : jeN / A, courant de sodium jeK1, indépendant du temps K + courant jeK, dépendant du temps K + courant jeKp, plateau K + courant jeLCC, courant Ca 2+ de type L NCX, échangeur Na + –Ca 2+ Na/K, Na + /K + ATPase TRPN, troponine CMDN, calmoduline. (Version en ligne en couleur.)

(b) Modélisation de Bond graph

Ici, nous décrivons brièvement les composants du graphe de liaison tels qu'ils sont utilisés dans la modélisation électrophysiologique. Pour une introduction plus complète, les textes de Gawthrop & Smith [33] et Borutzky [34] fournissent des descriptions détaillées de la théorie des graphes de liaisons, et Gawthrop & Bevan [35] fournissent un court tutoriel pour les ingénieurs. La théorie de la modélisation par graphe de liaison des systèmes biochimiques peut être trouvée dans [19,20,23,36].

Les graphes de liaisons sont constitués de composants (représentant des objets physiques et des processus), de liaisons (représentant le transfert d'énergie) et de jonctions (représentant la structure du réseau). Chaque lien porte deux variables : un effort e et un flux F , de sorte que leur produit détermine la puissance du lien (c'est-à-dire p = ef). Ainsi, les graphes de liaisons tiennent compte explicitement du transfert d'énergie et sont thermodynamiquement cohérents. Étant donné que l'effort et le débit sont des variables généralisées, ils peuvent représenter des quantités provenant de divers systèmes physiques, notamment mécaniques (e = force (N), F = vitesse (m s −1 )), électrique (e = tension (V), F = courant (A)) et systèmes hydrauliques (e = pression (Pa), F = débit volumétrique (m 3 s −1 )) [34].

La structure du réseau d'un graphe de liaison est spécifiée par les jonctions 0 et 1. Les jonctions 0 (ou d'effort) spécifient que les efforts de toutes les liaisons connectées sont égaux, et donc pour assurer la conservation de l'énergie à travers cette jonction, les flux des liaisons doivent être égaux à zéro. Dans les domaines électrique et hydraulique, les jonctions 0 représentent des connexions parallèles, alors qu'elles représentent des connexions série dans le domaine mécanique. Par un principe similaire, les jonctions 1 (ou de flux) spécifient que les flux de toutes les liaisons connectées sont égaux, garantissant que la somme de leurs efforts est nulle. Ainsi, les jonctions 1 correspondent à des connexions série dans les domaines électrique et hydraulique, et des connexions parallèles dans le domaine mécanique.

Pour illustrer l'utilisation d'un graphe de liaison pour l'analyse des circuits électriques, nous considérons le circuit électrique où deux condensateurs sont connectés à une résistance en série (figure 2une). Tous les composants sont linéaires, décrits par les équations suivantes :

Il est à noter que dans cet exemple, les composantes R et C sont linéaires. Plus généralement (comme requis dans les systèmes biochimiques et électrophysiologiques), les graphes de liaisons permettent la définition de composants avec des équations constitutives non linéaires pour donner lieu à des équations différentielles ordinaires non linéaires (EDO) qui adhèrent à des contraintes thermodynamiques et physiques [34].

Figure 2. Représentations conceptuelles des systèmes physiques. (une) Un graphique de liaison pour le circuit électrique simple illustré avec deux condensateurs et une résistance en série. (b) Un graphe de liaisons analogue au circuit électrique de (une) peut aussi représenter la réaction chimique A ⇌ B . (c) Les graphes de liaison peuvent également modéliser l'interaction des composants dans les domaines chimiques et physiques, tels que le transport d'un ion à travers une membrane. () Le transport d'un ion à travers une membrane à travers un canal ionique implique un déclenchement qui module la vitesse de réaction. Ainsi, le canal ionique est analogue à un potentiomètre. (Version en ligne en couleur.)

Plus récemment, les bond graphs ont été étendus pour modéliser des systèmes biochimiques [19,20] où le potentiel chimique ?? (J mol −1 ) est la variable d'effort, et le débit molaire v (mol s −1 ) est la variable de débit. Comme la température et la pression sont supposées constantes dans les systèmes biochimiques, la mesure du potentiel thermodynamique ?? correspond à l'énergie libre de Gibbs [37]. Pour la modélisation par graphe de liaison de systèmes plus généraux où la température et la pression changent, le lecteur est dirigé vers le texte de Thoma & Bouamama [38].

Parce que les équations d'action de masse sont non linéaires en général, des composants non linéaires sont nécessaires pour modéliser les systèmes biochimiques. Chaque espèce chimique est représentée comme un condensateur. Cependant, contrairement au domaine électrique, l'équation constitutive du condensateur représentant chaque espèce est logarithmique :

Le cadre des graphes de liaisons pour la biochimie peut être étendu aux systèmes électrochimiques [21] comme le montre la figure 2c, qui modélise le transport d'une espèce chargée positivement X à travers une membrane. Il est à noter que les espèces chimiques sont décrites avec des composants C qui ont une association logarithmique, alors que le composant C correspondant au potentiel de membrane (électrique) a une relation constitutive linéaire. Un transformateur (TF) est utilisé pour convertir la tension membranaire en un potentiel chimique équivalent grâce à la constante de Faraday F = 96485 C mol −1 , tel que :

Nous avons choisi de représenter les canaux ioniques de telle sorte que la conductance soit modulée par la tension membranaire, à la fois directement et indirectement via des processus de déclenchement. Une représentation graphique de liaison pour cette relation est donnée dans la figure 2. Comme indiqué, ce modèle a la même représentation électrique que la figure 2c Cependant, il utilise une résistance variable. La représentation du graphe de liaison contient les mêmes états, avec C : xi, C : xe et C : mem (avec un transformateur) connectés via 0 jonctions. Dans ce cas cependant, les composants Re qui décrivent la relation constitutive ont été modifiés, de sorte que Re_GHK : r1 est connecté à un effort supplémentaire qui module sa vitesse, et l'affinité de gating UNE g est ajouté à la fois aux affinités directe et inverse pour décrire les changements de perméabilité dus au déclenchement. De plus amples détails sur la modélisation des canaux ioniques à l'aide de graphes de liaison sont donnés au §2d.

(c) Approche de modélisation

Parce que les graphes de liaisons contraignent les équations d'un modèle pour assurer la cohérence thermodynamique, ils ne permettent la représentation que du sous-ensemble de modèles mathématiques généraux qui sont thermodynamiquement cohérents. Dans de tels modèles, les processus dissipatifs tels que les réactions et les courants ioniques ne peuvent se dérouler que dans le sens d'un potentiel chimique ou électrochimique décroissant, et lorsqu'il n'y a pas de gradient de potentiel (c'est-à-dire que le processus est à l'équilibre), le processus doit s'arrêter. Cependant, de nombreux modèles existants d'électrophysiologie cardiaque ne sont pas contraints d'assurer ce comportement, et dans certains cas, ils décrivent des systèmes physiquement infaisables qui créent de l'énergie à partir de nulle part [20]. Par conséquent, de nombreux modèles existants n'ont pas de représentation directe de graphe de liaison [23]. Un avantage de l'approche du graphe de liens est que la discipline requise pour convertir un modèle existant en un graphe de liens permet de mettre en évidence les problèmes thermodynamiques et les incohérences dans les modèles existants qui auraient autrement été manqués ou ignorés (voir Gawthrop et al. [23] pour un exemple de ce procédé appliqué à un modèle de glycolyse). Pour les courants de cette étude, les équations de Luo-Rudy pour les canaux K + et Ca 2+ de type L dépendant du temps ne sont pas thermodynamiquement cohérentes et ne peuvent donc pas être directement converties en un modèle de graphe de liaison. Comme le montre l'équation (2.11), une conséquence de la cohérence thermodynamique du cadre du graphe de liaison est qu'il existe une contrainte sur le point d'équilibre pour chaque canal ionique qui est déterminé par l'équation de Nernst.Comme les points d'équilibre des canaux dépendant du temps K + et Ca 2+ de type L ne correspondent pas au potentiel de Nernst (voir matériel électronique supplémentaire, A.1.3 et A.1.5), ils ne sont pas thermodynamiquement cohérents et donc leurs équations ne peut pas être traduit en un composant de graphe de liaison dissipatif. Ces problèmes ont été résolus en trouvant une approximation thermodynamiquement cohérente qui satisfait l'équation de Nernst. Un deuxième problème est qu'il est difficile de modéliser simultanément les courants à canal ouvert et le gating de canal en utilisant les composants élémentaires, décrits dans le §2b et la figure 2, nous avons donc approximé ces relations en utilisant les composants décrits dans cette section plutôt qu'en utilisant des composants plus compliqués. Par conséquent, plutôt que d'essayer de reproduire exactement les équations de Luo-Rudy, nous avons construit une structure de graphe de liaison comme l'impliquent les équations du modèle Luo et Rudy, et avons choisi les paramètres de notre modèle de graphe de liaison pour s'adapter aux aspects du modèle Luo-Rudy comme aussi près que possible, en particulier les courbes courant-tension (IV) et les paramètres de déclenchement. Pour tous les autres composants, la conversion en un modèle de graphe de liens était plus simple, et nous avons utilisé les méthodes de Gawthrop et al. [23]. De plus amples informations sur le modèle de graphe de liaison et l'identification des paramètres sont fournies dans le matériel électronique supplémentaire.

(d) Modélisation des canaux ioniques

(i) Structure du graphe de liaison.

Dans cette section, nous discutons des décisions prises dans le développement de modèles de canaux ioniques. La structure du graphe de liaison pour le canal Kp est illustrée à la figure 3. Les autres canaux ont des structures similaires qui découlent de la discussion dans cette section.

Figure 3. Le modèle de bond graph d'un canal K+ en plateau. (une) Les channel_Kp module décrit le courant à travers le canal ionique. (b) Les gate_en_Kp contient les états requis pour le déclenchement. (c) Les vRe Le module contient une réaction dépendante de la tension utilisée pour décrire les transitions d'état de canal. () Les modules de courant de canal et de déclenchement sont combinés dans un modèle de canal ionique ( Kp_channel ). (Version en ligne en couleur.)

(ii) Relations courant-tension.

Alors que les propriétés thermodynamiques peuvent être utilisées pour déterminer comment la tension membranaire et les concentrations ioniques se rapportent à l'équilibre, elles ne spécifient pas le comportement en dehors de l'équilibre. À cette fin, la relation courant-tension (I-V) définit la relation entre la tension membranaire et le courant traversant un canal spécifique. Dans de nombreux modèles d'électrophysiologie [1], les courants à travers les canaux ioniques sont décrits par l'utilisation de relations I-V linéaires basées sur des ajustements empiriques aux données plutôt que sur des principes physiques fondamentaux. En utilisant des graphiques de liaisons, il est difficile d'incorporer les effets de la synchronisation à l'aide d'une équation I-V linéaire. Alors que les équations IV linéaires peuvent être thermodynamiquement cohérentes à condition qu'elles satisfassent à l'équation de Nernst dans l'équation (2.11), et que de telles équations puissent être représentées en utilisant une composante R linéaire, la modulation de sa conductance nécessiterait l'utilisation de liaisons de signal qui ne représentent pas nécessairement processus physiques [34]. Par conséquent, nous utilisons l'équation de Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) pour modéliser les canaux ioniques, car elle permet une incorporation relativement simple de la synchronisation des canaux ioniques en tant que module biochimique basé sur la physique [21]. L'équation GHK définit une relation non linéaire entre le courant je et tension membranaire V :

Comme de nombreux canaux ioniques dans le modèle Luo-Rudy sont décrits à l'aide d'une relation I-V linéaire, l'utilisation des équations GHK nécessite une approximation. Une comparaison des courbes I-V résultantes est donnée dans la figure 4. Les détails du processus d'ajustement, ainsi que les paramètres du graphique de liaison ajusté, sont donnés dans le matériel électronique supplémentaire. Les courbes I-V des canaux Na + semblent correspondre assez bien (figure 4une), avec quelques divergences aux potentiels de membrane positifs. Pour les canaux K + (figure 4b), nous avons tenté d'optimiser l'ajustement entre les tensions qui correspondent à leur fonction physiologique, de sorte que leurs courants soient les plus similaires à ceux de Luo et Rudy lorsque les canaux ioniques sont ouverts. En conséquence, pour jeK1 (−90 mV≤V < − 30 mV), jeK (−20 mV≤V 30 mV) et jeKp (V > 0 mV), les courbes I-V correspondaient assez bien dans ces régions. Des divergences se sont produites en dehors de ces plages de tensions, mais ne semblaient causer que des différences mineures aux courants. Dans leur mise en œuvre de jeK, Luo & Rudy [1] utilisent une équation I-V thermodynamiquement incohérente où le courant est non nul au potentiel de Nernst pour K + . Malgré cela, les paramètres du graphe de liaison pourraient toujours être choisis pour donner un ajustement raisonnable à cette équation I-V (figure 4c). Étant donné que le modèle Luo-Rudy basait ses courbes Ca 2+ I-V de type L sur l'équation GHK, il y avait une correspondance beaucoup plus étroite entre le graphe de liaison et les modèles Luo-Rudy pour ces courants (figure 4e,F ) et la courbe K + correspondait exactement (figure 4F ).

Figure 4. Comparaison des courbes I-V entre les modèles Luo-Rudy (LRd) et bond graph (BG). (une) jeN / A, (b) jeK1, (c) jeK, () jeKp, (e) jeCa, L, (F) jeK, L. Les concentrations standard dans Luo & Rudy [1] ([Na + je] = 10 mM, [Na + e] = 140 mM, [ K + je ] = 145 mM , [K + e] = 5,4 mM, [Ca + je] = 0,12 µM, [Ca + e] = 1,8 mM) ont été utilisés pour faire correspondre les courbes I-V.

(iii) Modulation.

Alors que les courbes I-V décrivent les courants à travers les canaux ioniques ouverts, une formulation de déclenchement est nécessaire pour décrire le nombre de canaux ioniques ouverts à un moment donné. Dans le cadre Hodgkin-Huxley, la synchronisation est modélisée sous forme d'équations différentielles qui donnent la proportion de portes ouvertes à un moment donné. Nous avons incorporé les effets de la gating via une affinité de gating UNE g , qui s'ajoute aux affinités directe et inverse d'une réaction (figure 3une) pour moduler sa vitesse sans changer l'équilibre [21].

(iv) Modèles étatiques.

Les modèles de canaux ioniques doivent tenir compte de la synchronisation et les graphes de liaison nécessitent l'utilisation de composants physiques pour y parvenir. Nous modélisons le gating en tant que transitions entre les états des canaux, connus dans la littérature sous le nom de modèles de Markov [41,42]. Pour illustrer, nous utilisons l'exemple d'un canal Na + typique dans lequel le courant je est décrit par l'équation

où I est le courant lorsque tous les canaux sont ouverts. Ceci peut être décrit en utilisant le schéma réactionnel de la figure 5, où S31 représente le canal ouvert. Étant donné que les états des canaux individuels sont modélisés, le courant ne dépend que de la quantité de S31 et aucun des autres états fermés. Ainsi, l'incorporation dans le cadre de déclenchement décrit ci-dessus est intuitive, chaque état représente une conformation structurelle du canal ionique et le nombre de canaux dans chaque état est explicitement suivi, facilitant une approche simple pour tenir compte de l'énergétique du déclenchement sous différentes densités de canaux ioniques.

Figure 5. États des canaux d'un canal Na +.

(v) Dépendance en tension des transitions d'état.

Les taux de transition entre les états ouvert et fermé dépendent de la tension pour les canaux ioniques. Les modèles Hodgkin-Huxley décrivent les transitions d'état à l'aide d'EDO de la forme

Pour évaluer la qualité de l'ajustement, nous comparons les probabilités ouvertes à l'état d'équilibre gss = ??(V )/(??(V ) + ??(V )) et les constantes de temps ?? = 1/(??(V ) + ??(V )) (figure 6). Les courbes pour gss et ?? étaient généralement d'accord, cependant, il y avait quelques exceptions. En particulier, les constantes de temps pour les portes du canal Na + ont des pics plus faibles dans le modèle de graphe de liaison par rapport au modèle Luo-Rudy (figure 6unec), mais cela n'a pas semblé affecter de manière significative la fonction du canal Na + car les pics ont tous diminué dans une proportion similaire, facilitant la coordination entre l'ouverture et la fermeture. De même, la constante de temps ?? (figure 6h) était plus faible dans le modèle de graphique de liaison pour certaines tensions, mais étant donné que les écarts se produisent à des constantes de temps beaucoup plus petites que l'évolution temporelle d'un potentiel d'action cardiaque, nous nous attendons à ce que les effets soient négligeables. Enfin, pour le courant K + dépendant du temps Xss est sensiblement plus élevé à des tensions négatives de sorte que le modèle de graphique de liaison peut fournir une meilleure correspondance à des tensions positives (figure 6e). Les effets de cette différence sont partiellement compensés par le courant GHK plus faible aux tensions négatives qui sont toujours au-dessus du potentiel de Nernst de K + (figure 4c).

Figure 6. Ajustement des paramètres du graphique de liaison (BG) par rapport aux équations de déclenchement correspondantes du modèle Luo-Rudy (LRd). Les probabilités d'ouverture en régime permanent sont affichées sur les panneaux de gauche et les constantes de temps sont affichées sur la droite. Les équations du graphe de liaison sont tracées en traits pleins et les équations de Luo et Rudy en traits pointillés. Les portes comprennent (une) m, activation du sodium (b) h, inactivation du sodium (c) j, inactivation lente du sodium () K1, activation K + indépendante du temps (e) X, activation K + en fonction du temps (F) X i , inactivation K + dépendante du temps (g) Kp, plateau K + activation (h) , activation du canal Ca 2+ de type L. Notez que les portes X i et Kp ont été formulées à l'origine sous forme d'équations à l'état stationnaire, les constantes de temps ne sont donc affichées que pour les paramètres de graphe de liaison appariés.

(e) Trouver des fragments conservés

Dans un modèle biochimique, les fragments conservés sont des structures chimiques qui ne sont ni créées, ni supprimées, ni décomposées. Un exemple courant dans les réseaux métaboliques dépendants de l'énergie est la fraction adénosine trouvée dans l'AMP, l'ADP et l'ATP [23,29]. Le bilan de masse spécifie que la quantité totale de chaque fraction conservée reste constante, et si des informations sur la structure moléculaire de chaque espèce d'un réseau réactionnel sont disponibles, ces lois de conservation peuvent être dérivées en comptant le nombre de fractions dans toutes les espèces [29]. En pratique, de nombreux modèles ne contiennent pas ces informations structurelles et cette approche ne peut pas être utilisée cependant, les lois de conservation tiennent toujours. Ici, nous décrivons une méthode pour trouver des fragments conservés en utilisant des informations stoechiométriques plutôt que des structures chimiques.

Les modèles d'électrophysiologie cardiaque peuvent être représentés par l'équation différentielle

(f) Courants de stimulation

Le modèle de potentiel d'action cardiaque a été stimulé à l'aide d'un stimulus à courant constant qui contenait suffisamment de charge pour élever le potentiel membranaire de 30 mV sur 0,1 ms. Les courants de stimulation non conservateurs consistent en une charge non spécifique qui n'est portée par aucun ion spécifique. Comme recommandé par Kneller et al. [8], les courants de stimulus conservateurs contenaient des ions K + comme porteurs de charge.

3. Résultats

(a) Simulation d'un potentiel d'action unique

Pour vérifier que notre modèle de bond graph reproduit les caractéristiques d'un potentiel d'action typique, nous avons simulé le modèle sur un seul battement (figure 7unec). Le potentiel membranaire (figure 7une, avec une stimulation indiquée par la flèche) ressemblait à un potentiel d'action cardiaque typique, avec un pic et une phase de plateau distincts. Les contributions des courants des canaux ioniques reproduisent certaines caractéristiques communes des potentiels d'action cardiaque (figure 7b). Une fois que le potentiel d'action est initié par un courant de stimulation, le courant de sodium jeN / A s'active brièvement pour provoquer un pic de tension. Suite à cela, la phase de plateau se produit où les courants dépolarisants de type L Ca 2+ s'opposent aux courants repolarisants K + jeK et jeKp. Vers la fin du potentiel d'action, jeK1 s'active pour restaurer le potentiel de repos [50]. Notre modèle simule également l'inversion du courant NCX à travers le potentiel d'action, et le courant sortant constant de la Na + /K + ATPase pour maintenir les gradients ioniques (figure 7c). En conséquence de l'incorporation de la dépendance à la tension des transitions de porte dans un cadre physique, les transitions entre les états de canal sont associées à un courant de porte résultant du mouvement de ces résidus chargés. Notre modèle révèle que le courant de déclenchement total sur tous les canaux jeportail a une contribution minimale au courant total (figure 7c).

Figure 7. Une simulation du potentiel d'action cardiaque à l'aide d'un modèle de graphe de liaison. (une) Tension membranaire, après stimulation avec un courant de stimulus conservateur (flèche) (b) courants de canaux ioniques (c) courants de transport et de déclenchement () tension membranaire sur trois cycles, pour comparaison avec (e) et (F) (e) consommation d'énergie (F) énergie dissipée, avec la variable E représentant la consommation d'énergie sur la durée du potentiel d'action. Le modèle a été exécuté initialement pendant 300 ms pour permettre au potentiel membranaire et aux grilles de canal de se stabiliser. Les concentrations d'ions intracellulaires étaient des variables dynamiques avec des concentrations initiales [Na + je] = 10 mM, [K + je ] = 145 mM et [Ca + je] = 0,12 µM. Les concentrations constantes étaient [Na + e] = 140 mM, [K + e] = 5,4 mM, [Ca + e ] = 1,8 mM , [MgATP] = 6,95 mM, [MgADP] = 0,035 mM, [P je ] = 0,3971 mM et pH = 7,095. T = 310 K . (Version en ligne en couleur.)

Figure 7e montre la consommation électrique du modèle membranaire sur trois cycles cardiaques qui a été intégré pour estimer le coût énergétique du potentiel d'action cardiaque (figure 7F ). Notez que l'énergie continue à être consommée même pendant l'état de repos en raison de la présence de courants associés aux transporteurs d'ions. Ainsi, alors que l'énergie est majoritairement consommée pendant le potentiel d'action, il existe un gradient positif entre les potentiels d'action (figure 7F ). En réglant la consommation d'énergie au début du deuxième potentiel d'action à zéro (figure 7F , ligne bleue pointillée), nous avons calculé que le coût énergétique sur la durée du potentiel d'action était de 46,8 pJ. Comme la surface capacitive de la membrane pour ce modèle est de 1,534 × 10 -4 cm 2 , l'énergie consommée par unité de surface membranaire est de 305 nJ cm -2 . Comparé à Gawthrop et al.Selon l'estimation de [21] de 173 nJ cm -2 pour le coût énergétique d'un potentiel d'action dans l'axone géant d'un calmar, le potentiel d'action cardiaque consomme 76 % d'énergie en plus. La principale raison de cette différence est que contrairement à un neurone, le potentiel d'action cardiaque contient une phase de plateau avec des courants opposés. Malgré la vitesse de variation relativement lente de la tension, les courants Ca 2+ et K + restent relativement élevés par conséquent, une grande quantité d'énergie est dissipée pendant la phase de plateau.

(b) Les chimiostats influencent les fragments conservés des modèles de potentiel d'action cardiaque

Étant donné que les premiers modèles du potentiel d'action cardiaque n'incluaient pas de transporteurs actifs, ils utilisaient des concentrations intracellulaires constantes pour maintenir les gradients ioniques sur plusieurs cycles cardiaques [9,51]. Les modèles ultérieurs ont incorporé des transporteurs d'ions, leur permettant de représenter les conditions physiologiques avec des concentrations d'ions intracellulaires dynamiques et des concentrations d'ions extracellulaires constantes pour modéliser le lessivage du système circulatoire [1,3]. Dans des conditions ischémiques, le lavage est fortement inhibé, ainsi les modèles d'ischémie utilisent des concentrations d'ions extracellulaires dynamiques [4]. Nous avons étudié la question de la dérive dans trois classes de modèles : ceux avec (A) des concentrations d'ions dynamiques des deux côtés de la membrane, représentant des modèles de myocytes dans des conditions ischémiques (B) des concentrations d'ions intracellulaires dynamiques mais des concentrations d'ions extracellulaires constantes, représentant des modèles de des myocytes dans des conditions physiologiques et (C) des concentrations ioniques constantes, représentant des modèles sans transporteurs.

Nous avons utilisé notre modèle de graphe de liaison pour représenter ces classes de modèles, en sélectionnant des ions à fixer à des concentrations constantes, ce qui a donné trois variantes représentatives des classes énumérées ci-dessus. Ainsi, la variante A représente des modèles de cardiomyocytes dans des conditions ischémiques [4], la variante B représente des modèles de cardiomyocytes dans des conditions physiologiques [1,3] et la variante C représente des modèles sans transporteurs d'ions [9,51]. Les fragments conservés de chaque variante ont été trouvés en utilisant la matrice à espace nul gauche de la matrice stoechiométrique (tableau 1), et ceux-ci incluent par exemple, la quantité totale de canal K1 (motif 1). Parce que le canal n'est ni synthétisé ni dégradé dans notre modèle, la quantité totale de canal, c'est-à-dire la somme de ses fermetures (CK1) et ouvrir (OK1) états, reste constant au cours d'une simulation.

Tableau 1. Fragments conservés associés à la sélection du chemostat. Dans certains sous-groupes biochimiques (partie), il existe des contraintes (quantité conservée) sur une somme correspondante d'espèces représentant le total de la partie. Les quantités conservées restent constantes au cours d'une simulation. Q représente les contributions d'autres espèces au déséquilibre de charge à travers la membrane. Le symbole ?? représente les contributions de charges des états de Markov des canaux et des transporteurs. La définition de ??, et toutes les espèces peuvent être trouvées dans le matériel et le code électroniques supplémentaires.

De même, le fragment 10 pour la variante (A) représente la quantité totale d'ions K+, qui comprend le K+ intracellulaire, le K+ extracellulaire et les ions K+ liés à la Na+/K+ATPase. La quantité totale de K + est constante lorsque les concentrations d'ions sont dynamiques. Cependant, comme la fixation de la concentration de K + nécessite un flux externe supplémentaire, la loi de conservation est rompue dans les variantes (B) et (C). Parce que la capacité membranaire est incluse dans la stoechiométrie du système, notre méthode identifie automatiquement une loi de conservation de charge (partie 13 pour la variante (A) et partie 10 pour la variante (B)).

Bien qu'il soit rassurant que notre approche révèle les fractions conservées évidentes décrites ci-dessus, elle révèle également la fraction conservée de charge non négligeable qui manque à de nombreux modèles d'électrophysiologie cardiaque existants. La quantité globale de charge intracellulaire peut être décrite comme la somme des contributions des états intracellulaires K + , Na + , Ca 2+ (et ses tampons) et des états de Markov des canaux ioniques et des transporteurs (??), similaires aux formes trouvées dans les études précédentes [10,52]. Il convient de noter, cependant, que lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, la conservation de la charge était rompue, comme l'indique l'absence d'une fraction de charge conservée dans la partition inférieure du tableau 1. En général, maintenir la concentration d'une espèce constante rompt lois de conservation [39] et le nombre de fragments conservés diminue progressivement à mesure que de plus en plus de concentrations d'ions sont modélisées en tant que chémostats. Nous en discutons les conséquences dans les dernières sections.

(c) Les courants de stimulus non conservateurs provoquent une dérive dans les modèles avec une loi de conservation de charge

Une caractéristique importante des modèles d'électrophysiologie cardiaque est qu'ils doivent être simulés pendant de longues périodes pour examiner les changements de comportement physiologiquement pertinents. . Comme illustré (figure 8une,b), un stimulus non conservateur a entraîné une dérive lorsque le modèle avait des concentrations d'ions dynamiques soit pour tous les compartiments, soit uniquement dans le compartiment intracellulaire.La dérive était particulièrement prononcée lorsque toutes les concentrations d'ions étaient dynamiques (figure 8une), car les concentrations extracellulaires ont changé plus rapidement que les concentrations intracellulaires. En revanche, le modèle était résistant à la dérive d'un stimulus non conservateur lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes (figure 8c).

Figure 8. Effet du type de stimulus et des concentrations d'ions variables sur la dérive dans le modèle de graphe de liaison. (une) Concentrations d'ions dynamiques (b) Concentrations d'ions intracellulaires dynamiques (c) Concentrations d'ions constantes. Les résultats sont affichés pour les stimuli qui conservent la charge globale (bleu) et ceux qui ne conservent pas la charge (rouge). Les courants de stimulus non conservateurs contiennent une charge non spécifique, et les courants de stimulus conservateurs contiennent des ions de charge et de potassium. Les valeurs de charge sont données sous forme de différences par rapport à la valeur initiale de −5882,2 fmol . T = 310 K . Définitions : V dia , potentiel de membrane diastolique APD, durée du potentiel d'action à 90 % de repolarisation. (Version en ligne en couleur.)

Ces résultats suggèrent que la dérive est due à des violations de la fraction de charge conservée. La charge est une fraction conservée (tableau 1) dans les variantes du modèle où la dérive s'est produite avec un stimulus non conservateur. Dans cette situation, les courants de stimulus non conservateurs provoquent une dérive car chaque stimulus provoque une augmentation progressive de la valeur de la fraction de charge conservée (figure 8une,b panneaux inférieurs). Cependant, étant donné que les lois de conservation sont enfreintes à mesure que davantage d'espèces sont représentées sous forme de chémostats [39], la charge n'est plus une fraction conservée lorsque toutes les concentrations d'ions sont constantes (tableau 1). Ainsi, une observation qui peut ne pas être évidente à l'intuition est que dans ces conditions la charge n'est plus constante entre les stimuli, et donc libre de revenir à sa valeur d'origine après chaque stimulus (figure 8c, panneau inférieur), permettant à ces modèles d'atteindre un cycle limite en régime permanent.

En utilisant les observations de la rangée inférieure de la figure 8, il est possible de développer un contrôle systématique et automatisé de la dérive. Laisser vs être une matrice de lignes représentant la stoechiométrie du courant de stimulus (avec les chémostats supprimés), N cd la matrice stoechiométrique après suppression des lignes correspondant aux chémostats, et g être la matrice d'espaces nuls à gauche de N cd. Comme on le voit dans cette section, un courant de stimulus provoquera une dérive s'il entraîne une modification des fractions conservées GX. Par conséquent, pour éviter d'altérer l'un des fragments conservés, le courant de stimulus doit y avoir une contribution nulle, c'est-à-dire Gvs = 0 (ou de manière équivalente, vs doit mentir à l'image de N cd). Ainsi, le modèle dérive si Gvs≠0.

(d) Les conditions initiales influencent les états d'équilibre à travers des fragments conservés et des chémostats

Ensuite, pour différents ensembles de fragments conservés (tels que déterminés par les concentrations ioniques contraintes/dynamiques), nous avons testé comment le comportement à l'état d'équilibre du potentiel d'action cardiaque était modifié dans trois conditions initiales différentes (figure 9). Le premier ensemble de conditions initiales (IC1) sont des valeurs communes à des fins de comparaison (figure 5 en bas). IC2 est identique à IC1 mais avec 1 mM de K + intracellulaire échangé contre 1 mM de Na + intracellulaire, de sorte que la charge est conservée mais que K + et Na + ne sont pas conservés. De même, IC3 est identique à IC1, mais avec un peu de K + extrudé et une quantité égale de Na + déplacée dans la cellule de telle sorte que la charge, Na + et K + soient tous conservés. Lorsque toutes les concentrations d'ions sont dynamiques, IC1 et IC3 conduisent au même état d'équilibre, mais IC2 entraîne un état d'équilibre différent (figure 9une). Si seules les concentrations d'ions intracellulaires sont dynamiques, cependant, IC1 et IC2 aboutissent à des états d'équilibre identiques, mais IC3 conduit à un état d'équilibre différent (figure 9b). Enfin, le maintien constant de toutes les concentrations d'ions conduit à des états d'équilibre différents pour toutes les conditions initiales (figure 9c).

Figure 9. Effet des conditions initiales sur le comportement en régime permanent. (une) Concentrations d'ions dynamiques (b) Concentrations d'ions intracellulaires dynamiques (c) Concentrations d'ions constantes. Les modèles ont été stimulés à 1 Hz pendant 30 min en utilisant un courant de stimulus conservateur. [MgATP] = 6,95 mM, [MgADP] = 0,035 mM, [Pje] = 0,3971 mM, pH = 7,095, T = 310 K. Définitions : Vdia, potentiel de membrane diastolique APD, durée du potentiel d'action à 90 % de repolarisation. (Version en ligne en couleur.)

Ces résultats démontrent que la quantité additionnée pour chaque fraction conservée et/ou valeur chémostatique détermine le comportement à l'état d'équilibre des modèles de potentiel d'action cardiaque. Pour étudier cela plus en détail, nous avons calculé les valeurs des fractions conservées et des chémostats résultant de chaque condition initiale (tableau 2 différences par rapport à IC1 indiquées en italique). Pour que deux ensembles de conditions initiales atteignent des états stables identiques, toutes les fractions conservées et les chémostats doivent avoir la même valeur. Ainsi, sous des concentrations ioniques dynamiques (figure 9une), IC3 aboutit au même état d'équilibre que IC1 car toutes les fractions conservées ont été préservées (tableau 2), tandis que IC2 provoque un état d'équilibre différent parce que le K + et N / A + les fractions conservées prennent des valeurs différentes. De même, lorsque seules les concentrations d'ions intracellulaires sont dynamiques, IC2 préserve la valeur de toutes les fractions conservées et des chémostats, mais IC3 modifie les valeurs des chémostats correspondant aux concentrations extracellulaires de Na + et K + (tableau 2), d'où l'état d'équilibre différent. Lorsque toutes les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, les changements dans les valeurs du chemostat (tableau 2) étaient associés à différents états d'équilibre pour les trois conditions initiales (figure 9c).

Tableau 2. Les valeurs des fractions conservées et des chémostats dans différentes conditions initiales. Toutes les valeurs sont en fmol. Les chémostats sont indiqués par (cs). Les valeurs différentes de IC1 sont indiquées en italique.

4. Discussion

Dans cette étude, nous avons développé un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque dans le but de résoudre les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques. L'analyse utilisant des fragments conservés a permis de découvrir toutes les lois de conservation au sein du modèle, y compris la loi de conservation de charge négligée par de nombreuses études existantes. En plus de la conservation de la loi de charge des études précédentes [10,52,53], nous avons trouvé des lois de conservation correspondant aux ions, aux états des modèles de Markov des canaux et des transporteurs, et des tampons, démontrant l'exhaustivité de notre approche. Parce que l'approche du graphe de liaison nécessite que les espèces et les processus soient résolus dans les détails biophysiques, le calcul des lois de conservation est plus simple que de travailler uniquement avec les équations mathématiques d'un modèle. Deux avantages clés de notre approche par rapport aux analyses existantes sont qu'elle révèle toutes les lois de conservation de manière globale et systématique, et qu'elle est générale pour tous les modèles du potentiel d'action cardiaque qui peuvent être représentés sous forme de graphes de liaison. En conséquence, notre approche peut être adaptée à des modèles cardiaques plus complexes sans examen manuel des équations d'un modèle pour identifier chaque loi de conservation individuelle, et la loi de conservation de charge non triviale sera prise en compte lorsqu'elle apparaîtra comme une fraction conservée. Lorsqu'il est simulé sur de longues périodes avec un stimulus non conservateur, notre modèle de graphe de liaison affichait une dérive de solution, mais il est devenu résistant à la dérive lorsque les concentrations d'ions étaient maintenues constantes, démontrant que les changements dans la valeur d'une fraction de charge conservée entraînent une dérive du modèle. Nous avons également constaté que deux ensembles de conditions initiales peuvent conduire à des états d'équilibre différents si les valeurs de leurs fractions conservées et chimiostats correspondants sont différentes, suggérant un lien étroit entre les fractions conservées et les cycles limites à l'état d'équilibre des modèles de potentiel d'action cardiaque. Pour démontrer que notre approche est générale, nous avons testé comment la sélection de chémostats (c. Notre approche met en évidence l'observation subtile mais pertinente selon laquelle le maintien des concentrations d'ions constantes modifie les fractions conservées du modèle, ce qui à son tour a un effet sur la susceptibilité d'un modèle à la dérive et à des états stables non uniques. Parce que les chémostats représentent des connexions entre un système et son environnement externe, ils sont essentiels pour coupler les processus biologiques [23]. Le couplage de processus biologiques provoque généralement des changements dans les lois de conservation d'un système qui peuvent être difficiles à saisir par l'observation. Notre approche utilisant des graphes de liaisons fournit une méthode systématique de traitement des modifications des lois de conservation résultant du couplage de modèles entre eux.

(a) Dérive

Rythmées par un stimulus non conservateur, les variantes du modèle avec une loi de conservation de charge (A et B) ont subi une dérive (figure 8une,b) cohérent avec les études précédentes sur le modèle Luo-Rudy [10,11]. Nos observations expliquent également pourquoi les modèles avec des concentrations d'ions constantes (similaires à la variante C) sont plus susceptibles d'être résistants à la dérive [10]. En observant les changements dans la fraction de charge conservée, l'approche du graphe de liaison attribue la dérive à des perturbations régulières de la charge qui ne peuvent pas être restaurées en raison de la présence d'une loi de conservation. Alors que les analyses précédentes reposaient uniquement sur l'intuition pour dériver une loi de conservation correspondant à la charge [10,11], nous notons que notre approche dérive automatiquement cette loi de conservation, et peut également détecter d'autres lois de conservation qui peuvent être pertinentes pour la dérive.

Nous notons que pour éviter la dérive, toutes les moitiés conservées (et pas seulement la moitié conservée correspondant à la charge) doivent être préservées par le courant de stimulus. Cependant, dans les exemples explorés dans cette étude, nous avons constaté que les courants de stimulus préservaient la valeur de toutes les fractions conservées en dehors de la charge, et n'étaient donc pas tracés. Alors que l'intuition peut suggérer que la modélisation d'un courant de stimulus avec K + provoquerait une accumulation de K + intracellulaire, le K + est transporté passivement à travers les canaux K +. De plus, la quantité totale de K + (la fraction conservée pertinente) reste constante car la perte de K + du côté extracellulaire est compensée par l'accumulation du côté intracellulaire. En revanche, pour la conservation de charge dans les variantes A et B, le modèle ne contient aucun mécanisme pour inverser le changement de différence de charge causé par le courant non conservateur, ce qui entraîne une dérive.

Comme démontré, la méthode du graphe de liaison nécessite la construction d'une matrice stoechiométrique, fournissant une approche simple pour vérifier si un courant de stimulus provoquera une dérive. Bien qu'il soit courant d'utiliser K + comme porteur de charge pour les courants de stimulation, il est probable que plusieurs espèces contribuent au courant [8,10]. Ainsi, l'approche automatisée suggérée ici est bien adaptée pour vérifier si des courants de stimulus plus complexes satisfont à la conservation de la charge, ainsi qu'à d'autres lois de conservation au sein du modèle. Il convient de noter, cependant, que si un modèle satisfaisant Gvs = 0 ne dérivera pas en raison de la violation des lois de conservation, une dérive peut toujours se produire en raison d'un déséquilibre des courants dans tout le potentiel d'action, par exemple, en l'absence de Na + /K + ATPase, les gradients ioniques disparaîtraient progressivement dans un modèle avec concentrations d'ions dynamiques.

Enfin, nous pensons que cette analyse fournit un lien entre les problèmes de dérive et les états stationnaires. Nos modèles montrent que la dérive due à un courant de stimulus non conservateur peut être attribuée à des changements dans la valeur de la fraction conservée de charge avec chaque stimulus, et par conséquent l'état d'équilibre du modèle change. La dérive du modèle se produit alors alors que la solution poursuit continuellement un état stable en mouvement.

(b) Effets des conditions initiales sur les états stationnaires

Nous avons également constaté que les conditions initiales des modèles de potentiel d'action cardiaque modifient leurs états d'équilibre à travers les valeurs des chémostats et des fractions conservées (figure 9 et tableau 2). En conséquence, la même perturbation des conditions initiales peut avoir des effets différents sur l'état d'équilibre selon les espèces maintenues constantes. Par conséquent, en plus de s'assurer que la concentration d'ions est physiologique, il faut veiller à initialiser correctement chaque état des tampons et des modèles de Markov des canaux ioniques et des transporteurs d'ions, car ils peuvent contenir une fraction importante de l'abondance totale des ions. Par exemple, les tampons Ca 2+ et SERCA peuvent séquestrer une quantité significative de Ca 2+ et ils doivent être initialisés avec la quantité correcte de Ca 2+ lié lorsque des modèles multi-états sont utilisés [54]. Nous notons que la difficulté de dériver manuellement les lois de conservation augmente de façon exponentielle à mesure que les modèles d'électrophysiologie cardiaque deviennent plus complexes, et nous pensons que notre approche s'étend sur les analyses existantes [10,11] pour fournir une méthode générale d'évaluation du comportement à l'état d'équilibre en comparant les les valeurs des fragments conservés et des chémostats qui résultent de chaque condition initiale.

Dans le domaine de l'analyse des réseaux biochimiques, il existe une dépendance bien établie des états stables au repos sur les fragments conservés, et de nombreuses techniques mathématiques pour évaluer l'unicité et la stabilité de ces états stables ont été développées [55,56]. Cependant, l'influence des fragments conservés sur les cycles limites dans un système oscillant régulièrement stimulé reste à étudier. Nos résultats suggèrent des similitudes entre ces deux domaines, et bien que nous n'ayons testé l'unicité des états stables qu'en utilisant des perturbations relativement faibles des conditions initiales, il est possible qu'un ensemble de fractions conservées puisse avoir plusieurs états stables, et des perturbations plus importantes peuvent conduire à autres cycles limites.

(c) Les méthodes « différentielle » et « algébrique »

La découverte des principes de conservation en électrophysiologie cardiaque a conduit à un débat sur l'opportunité d'utiliser les méthodes différentielles ou algébriques de simulation [7,10,11,52,53]. La méthode différentielle est le calcul de la tension membranaire en intégrant le courant total, et la méthode algébrique est le calcul de la tension membranaire en utilisant une relation algébrique dérivée de la conservation de la charge. Nous avons choisi la méthode différentielle plutôt que la méthode algébrique car elle prend mieux en charge la réutilisation et la modularité des modèles - en particulier, il est plus facile de modifier les équations pour sélectionner différentes espèces comme chémostats, et de combiner les équations lorsque deux modèles sont couplés. Nous notons, cependant, que la méthode algébrique peut réduire la complexité de calcul [10,20]. Dans la modélisation de graphes de liaisons, la méthode algébrique peut être implémentée en utilisant des fragments conservés pour transformer le système d'EDO en une équation algébrique différentielle (DAE) d'indice 0 (éqn 3.48 de [20]). Cette méthode généralise les méthodes algébriques existantes pour réduire le système d'équations différentielles en utilisant toutes les fractions conservées et pas seulement la fraction de charge conservée. Bien que nous n'ayons pas utilisé l'approche algébrique, nous soulignons que le choix de la méthode concerne des approches numériques pour la simulation de modèles plutôt que la physique sous-jacente du système [10]. Par conséquent, les méthodes différentielles et algébriques sont équivalentes dans les systèmes conservateurs à condition que les conditions initiales et les valeurs des fragments conservés soient cohérentes.

(d) Intégration dans des modèles de cellules entières

Notre modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque est la première étape vers un modèle de graphe de liaison de cellule entière entièrement intégré d'un cardiomyocyte qui couple l'électrophysiologie, la signalisation, le métabolisme et la mécanique. Comme l'énergie est le moteur de tous les processus biologiques et que l'approvisionnement en énergie peut être limité dans certains états physiopathologiques, il est intéressant d'examiner comment les cardiomyocytes allouent leur énergie, et également d'estimer l'efficacité des processus essentiels à la fonction des cardiomyocytes [57,58]. Des études de modélisation pour la régulation énergétique d'une cellule cardiaque existent dans la littérature [58], mais alors que certains composants utilisés dans ces modèles sont thermodynamiquement cohérents [59, 60], les modèles de cellules entières existants ne sont ni basés sur l'énergie ni thermodynamiquement cohérents dans l'ensemble du modèle entier. De plus, étant donné que les études expérimentales et de modélisation existantes utilisent la consommation d'ATP comme proxy de la consommation d'énergie, elles ne peuvent estimer la consommation d'énergie que des principaux puits d'énergie : la Na + /K + ATPase, SERCA et le cycle crossbridge [58,61]. Une approche de graphe de liaison peut ainsi fournir des informations plus détaillées sur la façon dont une cellule cardiaque utilise l'énergie en aval des processus d'hydrolyse de l'ATP et aider à identifier les processus consommateurs d'énergie. Parce que l'approche bond graph est basée sur l'énergie, elle fournit non seulement les contraintes nécessaires pour développer un modèle thermodynamiquement cohérent, mais nous permet également d'évaluer directement la consommation d'énergie du modèle (en Joules). Nous avons constaté que lorsqu'il est normalisé par rapport à la surface de la membrane, le potentiel d'action cardiaque consomme environ 76 % plus d'énergie qu'un potentiel d'action dans l'axone d'un calmar géant. A la connaissance des auteurs, il s'agit du premier bilan de l'énergie consommée par les processus électrochimiques au cours du potentiel d'action cardiaque.

(e) Limites

Une limitation de notre approche est que les contraintes physiques imposées par l'approche bond graph empêchent la traduction directe des modèles existants d'électrophysiologie cardiaque en bond graphs. Cela met en évidence les problèmes thermodynamiques qui existent dans les modèles existants d'électrophysiologie cardiaque alors que de nombreux modèles contiennent des composants thermodynamiquement cohérents, les auteurs ne connaissent aucun modèle entièrement thermodynamiquement cohérent. Néanmoins, l'incapacité de reproduire parfaitement les propriétés des modèles existants en tant que graphes de liaisons empêche la création de modèles de graphes de liaisons d'électrophysiologie cardiaque, car elle nécessite la construction de nouveaux modèles de bas en haut avec des équations existantes utilisées uniquement comme guides pour l'ajustement des paramètres. En raison de cette limitation, notre modèle de graphe de liaison ne représente qu'un sous-ensemble des processus de transport d'ions au sein d'un cardiomyocyte et ne fait qu'approcher le comportement décrit dans les modèles existants. Bien que notre modèle soit capable de reproduire de nombreuses caractéristiques essentielles du potentiel d'action, il est peu probable qu'il soit physiologiquement réaliste dans des conditions différentes de celles utilisées pour notre processus d'ajustement. Ainsi, dans de futures études, il serait intéressant d'explorer l'utilisation de composants de graphes de liaisons plus complexes pour générer des modèles plus réalistes sur le plan physiologique. Nous avons choisi d'utiliser un ensemble restreint de composants et d'équations constitutives pour garder le modèle simple, bien que le cadre du graphe de liaisons soit suffisamment flexible pour prendre en compte un plus large éventail d'équations à condition qu'elles soient thermodynamiquement cohérentes. Alors que de nombreux canaux ioniques (y compris ceux pour jeN / A, jeK1 et jeKp dans le modèle de Luo et Rudy) sont modélisés à l'aide de relations I-V linéaires, le choix de la relation I-V est généralement choisi sur la base d'un ajustement empirique aux données plutôt que sur la base de principes physiques. Ainsi, une approche plus idéale consisterait à utiliser des composants de graphe de liaison non linéaires dérivés de principes physiques et à adapter leurs paramètres directement aux données expérimentales.De plus, les équations empiriques pour les paramètres de transition de déclenchement ne sont généralement pas exprimées dans un cadre thermodynamique et sont donc impossibles à reproduire exactement avec un modèle de graphe de liaison. Nous avons utilisé un mécanisme de déclenchement simple pour réduire la complexité des équations tout en maintenant la cohérence thermodynamique. Cependant, la qualité de l'ajustement pourrait être améliorée en utilisant des mécanismes de déclenchement plus compliqués ou d'autres équations constitutives thermodynamiquement cohérentes.

En raison des restrictions physiques imposées par le cadre des graphes de liaisons, nous avons été obligés de modéliser les canaux et les transporteurs ioniques en utilisant les états de Markov pour représenter fidèlement leur physique sous-jacente. Cependant, cela a produit un modèle qui avait de nombreux états par rapport au nombre de processus biologiques. Bien qu'il soit rassurant de constater que notre méthode d'identification des fragments conservés est restée robuste malgré cette complexité, la simulation du modèle était coûteuse en temps de calcul. Dans le but d'intégrer ce modèle de potentiel d'action dans un modèle de cellule entière plus large, il serait utile d'avoir des composants de modèle simples qui réduisent les coûts de calcul. Bien que les méthodes actuelles de réduction des modèles biochimiques dans le cadre des graphes de liaisons ne soient pas suffisamment avancées pour s'appliquer aux composants biologiques de cette étude, nous notons que les graphes de liaisons fournissent une base utile pour appliquer la simplification des modèles tout en garantissant le maintien de la cohérence thermodynamique [20].

Nous avons également décidé de limiter les processus de transport inclus dans notre modèle à ceux considérés comme essentiels pour produire un potentiel d'action cardiaque, tout en maintenant un cycle limite utilisant des concentrations ioniques dynamiques. Notre modèle de graphe de liaison a omis de nombreux courants ioniques en raison de leurs petites amplitudes, cependant, ces canaux peuvent avoir des contributions plus importantes dans des conditions qui varient de celles testées ici. Ainsi, une extension évidente de ce travail serait l'intégration d'autres processus électrogènes au sein de la membrane cardiaque. Il serait intéressant d'étudier si le couplage d'autres modèles nécessite un réglage supplémentaire des paramètres [62], et si la présence de paramètres physiques du graphe de liaison modifie ce processus. Une limitation connexe est que notre modèle ne tient pas compte des concentrations d'ions telles que H + et Cl − , ainsi que des tampons pH [5]. Bien que l'inclusion de ces ions et de leurs transporteurs conduirait à un modèle plus précis, l'omission de ces ions n'a pas causé d'incohérences dans les lois de conservation décrites dans cette étude. Ces ions ont été supposés être imperméables à la membrane dans notre modèle, et donc leurs contributions constantes au potentiel de membrane ont été prises en compte dans la valeur initiale de la fraction de charge conservée. Semblable à la façon dont le calcium et ses tampons ont été pris en compte dans notre approche actuelle (tableau 1), notre approche de graphe de liaison est suffisamment générale pour prendre en compte d'autres ions et leurs tampons.

Lors de la formulation de la structure et des paramètres d'un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque (ou de la plupart des autres processus biologiques), il est possible de s'adapter aux modèles mathématiques existants ou aux mesures expérimentales sous-jacentes. Pour tous les processus de cette étude à l'exception du NCX, nous avons développé notre modèle de graphe de liens pour reproduire le comportement d'un modèle existant, dans une tentative de réutiliser les connaissances existantes sur ces processus. Cette approche pose des contraintes sur la structure de graphe de liaison utilisée, en particulier pour la structure de grille. Par conséquent, il serait intéressant de développer une approche qui évalue les structures des bond graphs ainsi que les paramètres des bond graphs, en fonction de leurs ajustements aux données [62]. Une telle approche peut fournir un meilleur ajustement aux données et révéler des informations sur les mécanismes physiques des canaux ioniques.

5. Conclusion

Dans cette étude, nous avons développé un modèle de graphe de liaison du potentiel d'action cardiaque et l'avons utilisé pour explorer les problèmes de dérive et d'états stationnaires non uniques. Nous démontrons que l'analyse des fragments conservés généralise le concept de conservation de charge utilisé dans des études antérieures, et avons constaté que les changements dans les fragments conservés peuvent expliquer la dérive ainsi que les changements de comportement à l'état d'équilibre. Il est important de noter que le maintien des concentrations d'ions constantes peut avoir des conséquences importantes à la fois sur la dérive et les états d'équilibre, car ils modifient les fractions conservées dans le modèle. Notre approche pour résoudre la dérive et les états stables non uniques est suffisamment générale pour pouvoir être appliquée à n'importe quel modèle de graphe de liaison du modèle de potentiel d'action cardiaque. Nous espérons que l'approche du graphe de liaison décrite ici s'avérera utile pour le développement de futurs modèles d'électrophysiologie cardiaque et, éventuellement, de modèles à cellules entières du cardiomyocyte.

Accessibilité des données

Le code associé à cette étude est disponible sur GitHub (https://github.com/uomsystemsbiology/bond_graph_cardiac_AP), et archivé sur Zenodo (https://doi.org/10.5281/zenodo.1172205) [63]. Le référentiel contient le code Matlab (The MathWorks, Natick, MA) qui génère les figures, le code CellML contenant les paramètres, les conditions initiales et les équations du modèle, et tous les détails de la structure du graphe de liaison.

Contributions de l'auteur

M.P., P.J.G., J.C. et E.J.C. développé la théorie. député effectué la recherche. K.T. fourni des conseils conceptuels et aidé à interpréter les résultats. Tous les auteurs ont contribué au texte du manuscrit et ont donné leur approbation finale pour la publication.

Intérêts concurrents

Nous n'avons pas d'intérêts concurrents.

Le financement

député reconnaît le soutien financier fourni par une bourse du programme de formation à la recherche du gouvernement australien. P.J.G. remercie la Melbourne School of Engineering pour son soutien via une bourse professorale. K.T. est soutenu par la Heart Foundation of New Zealand (Research Fellowship 1692) et le Marsden Fund Council grâce à un financement gouvernemental, géré par la Royal Society Te Ap a ¯ rangi (Marsden Fast-Start UOA1703. Cette recherche a été en partie menée et financée par l'Australien Programme de financement des projets de découverte du Conseil de recherche (projet DP170101358).


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Science

Vol 336, numéro 6078
13 avril 2012

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Par Morten Ø. Jensen , Vishwanath Jogini , David W. Borhani , Abba E. Leffler , Ron O. Dror , David E. Shaw

Science 13 Avr 2012 : 229-233

Des simulations de dynamique moléculaire montrent comment un canal voltage-dépendant se ferme.


Remise du prix par Denis Baylor

C'est un plaisir de vous présenter les lauréats du prix Albert Lasker de recherche médicale fondamentale de cette année : Clay Armstrong, Bertil Hille et Roderick MacKinnon. Clay, Bertil et Rod ont fait des découvertes exceptionnelles sur certaines des molécules les plus importantes dans les cellules vivantes : les canaux ioniques. Les canaux ioniques sont des molécules de protéines spécialisées dans les membranes cellulaires. Ils génèrent des signaux électriques dans les cellules nerveuses et les fibres musculaires, produisent le rythme cardiaque et ordonnent aux glandes de sécréter. Une molécule de canal individuel est un interrupteur marche/arrêt qui contrôle le flux d'ions à travers la membrane. Lorsqu'il est allumé, il permet à un type spécifique d'ion - Na, K ou Cl - de traverser la membrane. Ces mouvements ioniques produisent de petits courants électriques qui modifient la tension de la membrane et transmettent des informations d'un endroit à un autre.

Un canal ionique est une machine moléculaire remarquable. En règle générale, il trie les ions un à la fois, tout en permettant aux espèces préférées de passer à la vitesse d'un million par seconde, bien plus que la vitesse à laquelle les meilleures enzymes peuvent traiter leurs substrats. L'un des nombreux types de signal peut activer des canaux. Certains allumés par la tension de la membrane elle-même ont une sensibilité à la tension dix fois supérieure à celle des portes logiques d'un ordinateur flambant neuf. Aussi merveilleux qu'ils soient, les canaux ne fonctionnent pas toujours correctement et les dysfonctionnements produisent une liste croissante de maladies qui incluent l'épilepsie, les arythmies cardiaques et la mucoviscidose.

Avant le travail de Clay, Bertil et Rod’s, les physiologistes savaient que les canaux ioniques sont importants, mais ce que sont réellement les canaux et comment ils fonctionnent n'étaient compris qu'au niveau des formalismes que Hodgkin et Huxley avaient énoncés deux décennies plus tôt. Les travaux de Hodgkin et Huxley, qui ont remporté le prix Nobel en 1963, ont révélé que des voies séparées permettent aux ions de différents types de traverser la membrane, et que, pour certains canaux neuronaux, la tension à travers la membrane détermine si les ions sont autorisés à passer. ou pas. Il n'était pas clair comment les ions traversent les canaux, comment les canaux atteignent leur sélectivité remarquable pour les ions, ni comment la tension à travers la membrane indique au canal de permettre le flux d'ions ou de le bloquer. La structure moléculaire complète d'un canal ? Oublie! C'était bien sûr avant que nos lauréats n'entrent en scène.

Plus d'informations

Bertil Hille, de l'Université de Washington, a fourni un mécanisme physique pour la sélectivité ionique. Il l'a fait en caractérisant le gant qu'un ion doit exécuter lorsqu'il traverse le pore du canal. L'approche était magnifiquement directe : trouver la taille du trou dans un canal de sodium en essayant une variété d'ions et en déterminant le plus grand qui peut se faufiler. Le goulot d'étranglement qu'il a mesuré ne permettrait à un ion sodium de passer qu'après avoir éliminé toutes les molécules d'eau qui l'entourent normalement, à l'exception de quelques-unes. La perte des eaux a été compensée énergétiquement par des atomes d'oxygène carboxyliques chargés négativement dans la paroi des pores. Cette image expliquait comment un canal sodium ne laisse effectivement passer que les ions sodium, tout en laissant passer ces ions "choisis" à un débit très élevé. Bertil a étendu l'analyse aux canaux potassiques et a montré qu'ils atteignent la sélectivité d'une manière plus subtile, en éliminant les ions potassium de l'eau et en permettant à plusieurs ions de résider dans le pore en même temps. La répulsion électrique entre les ions leur permet de traverser le pore à des vitesses très élevées même s'ils interagissent fortement avec les parois des pores. Plus récemment, Bertil a découvert que certains canaux sont régulés directement par des interactions avec les protéines G, des molécules de signalisation omniprésentes à l'intérieur des cellules. Il poursuit des recherches distinguées sur les mécanismes fondamentaux de la signalisation cellulaire. Le livre de Bertil, Canaux ioniques des membranes excitables, est prisé par les étudiants et les scientifiques chevronnés pour sa profondeur et sa clarté.

Rod MacKinnon, de l'Université Rockefeller, a fait l'impensable : il a cristallisé un canal potassique et déterminé toute sa structure moléculaire par diffraction des rayons X. Auparavant, il avait utilisé la physiologie et la biologie moléculaire pour démontrer qu'un canal potassique se compose de quatre sous-unités et pour identifier les acides aminés qui tapissent le vestibule externe et le pore du canal. L'étape logique suivante consistait à visualiser la structure complète d'un canal potassique. Pour ce faire, il a dû tester d'innombrables conditions de cristallisation, construire de nombreux mutants et, pendant ses heures creuses, apprendre la cristallographie aux rayons X. Il a fait toutes ces choses en peu de temps, trouvant une belle structure construite à partir de quatre sous-unités qui se réunissent pour former un tipi inversé enjambant la membrane. La forme et la composition du pore fournissent une base structurelle solide pour la sélectivité élevée du potassium et les taux de transport d'ions dans ces canaux. En effet, comme Hille, Hodgkin et d'autres l'avaient déduit, de multiples ions potassium résident dans le pore. Maintenant, le canal que Rod a cristallisé provenait de la bactérie Streptomyces lividans. Dans une belle suite au travail structurel, Rod a montré que le canal bactérien peut être bloqué par une toxine de scorpion qui bloque les canaux potassiques dans les organismes supérieurs. Cela indique que la structure de la bouche du canal potassique a été conservée à mesure que les organismes supérieurs évoluaient. Rod étend ce travail à d'autres canaux, et nous attendons avec impatience sa prochaine structure.

En conclusion, il est clair que les connaissances fondamentales de Clay, Bertil et Rod sur ces molécules clés deviendront de plus en plus importantes pour comprendre et vaincre les maladies humaines.


Discussion

Les canaux K + activés par le calcium sont des acteurs essentiels de la physiologie cellulaire, car ils relient la signalisation intracellulaire aux propriétés électriques de la membrane. Le mécanisme de modulation des canaux par le Ca 2+ a été étudié en détail pour les canaux K + activés par Ca 2+ eucaryotes (canaux BK et SK) mais une pièce importante du puzzle manque toujours : les informations structurelles. La structure de MthK a été postulée pour être un modèle pour la structure des canaux BK et un point de départ pour comprendre le mécanisme d'ouverture des canaux lors de la modulation Ca 2+. Cependant, peu d'informations fonctionnelles sont actuellement disponibles pour MthK (Jiang et al., 2003). Ici, nous caractérisons en détail le gating des canaux MthK et nous décrivons le mécanisme de modulation Ca 2+ dans le cadre des informations structurelles disponibles.

Canaux MthK et BK : comparaison fonctionnelle

Quelles sont les similitudes entre les chaînes MthK et BK ? Ce sont à la fois des canaux potassiques avec une région poreuse homologue et une séquence de signature GYG pour la sélectivité potassique. Le domaine cytoplasmique COOH-terminal des deux canaux est composé de deux domaines RCK (identiques chez MthK, différents chez BK, mais homologues entre les deux espèces Jiang et al., 2001), et le calcium favorise l'ouverture des canaux dans les deux types de canaux. Cependant, alors que les canaux BK sont activés par des concentrations micromolaires de Ca 2+ (Latorre, 1989), les canaux MthK ne répondent que lorsque Ca 2+ est élevé à des concentrations millimolaires.

L'une des caractéristiques les plus intrigantes de MthK est l'activation très abrupte par Ca 2+ . Nous avons examiné l'activation de MthK lorsque le Ca 2+ est passé de 0 mM (avec EDTA ajouté) à 10 mM. Nous avons constaté que l'activité du canal augmentait fortement entre 3,5 et 5 mM de Ca 2+ . Ce saut dans l'activité du canal a été bien décrit par un coefficient de Hill d'au moins 8. La valeur a été limitée par le nombre d'ions Ca 2+ présents dans la structure à haute résolution du canal huit ions Ca 2+ ont été trouvés dans la structure MthK, deux par sous-unité fonctionnelle et une par domaine RCK. Il s'agit du coefficient de Hill le plus élevé trouvé dans n'importe quel canal dépendant du ligand à des fins de comparaison, le plus grand coefficient de Hill trouvé pour l'activation Ca 2+ des canaux BK est de 4 à 5 (Golowasch et al., 1986 McManus et Magleby, 1991 Cox et al. , 1997 Nimigean et Magleby, 1999), pour l'activation nucléotidique cyclique des canaux CNG, il est de 2 à 3 (Zagotta et Siegelbaum, 1996 Ruiz et al., 1999), et pour l'activation de Ca 2+ dans les canaux SK, il est de 2 à 4 Kohler et al., 1996 Vergara et al., 1998).

Que signifie ce coefficient de Hill inhabituellement élevé pour le mécanisme de modulation Ca 2+ des canaux MthK ? La réponse la plus simple est que MthK ne s'ouvre presque jamais à moins que les huit sites de liaison Ca 2+ ne soient occupés. Ce mécanisme est différent de l'activation Ca 2+ des canaux BK dans laquelle le canal peut s'ouvrir dans des états partiellement occupés par Ca 2+ et le couplage entre la liaison Ca 2+ et l'ouverture du canal, bien que fort, n'est pas aussi fort que nous observons avec MthK (McManus et Magleby, 1991 Horrigan et Aldrich, 2002). Une alternative à l'explication simple ci-dessus est que l'extrême pente de la dose-réponse de Ca 2+ est due à de multiples processus qui se chevauchent qui conduisent à l'ouverture du canal à partir d'états fermés/dormants/bloqués (c'est-à-dire, l'activation de Ca 2+ plus un ou plusieurs processus indépendants qui modulent la synchronisation de canal MthK). L'inactivation a récemment été proposée comme étant la cause de la probabilité apparemment faible d'ouverture des canaux KcsA pendant la synchronisation à l'état d'équilibre (Cordero-Morales et al., 2006). Cependant, il n'est pas évident qu'un état inactivé existe pour les canaux MthK (qui manquent du glutamate, E71, proposé pour être impliqué dans l'inactivation de KcsA), et, en l'absence de données à l'appui d'un processus plus complexe, nous privilégions le mécanisme le plus simple décrit ci-dessus pour l'origine de la pente raide de la colline.

Le mécanisme apparent d'activation de Ca 2+ tout ou rien pour MthK est également soutenu par notre analyse cinétique des états ouvert et fermé avec Ca 2+ . Tout d'abord, nous avons constaté que l'activité MthK a une apparence « en rafale » au niveau d'un seul canal que nous avons catalogué comme deux modes de déclenchement : lent (rafales et intervalles entre les rafales) et rapide (scintillement au sein d'une rafale). Nous avons constaté que les durées des intervalles ouverts et fermés au sein d'une salve (les composants du déclenchement rapide) sont indépendantes de Ca 2+ et que l'augmentation de Po avec Ca 2+ (>100 fois) provient principalement de la diminution marquée des durées des écarts entre les salves (40 fois) et dans une moindre mesure de l'augmentation de la durée des salves (deux à trois fois). Ca 2+ n'affecte que le gating lent de MthK en modifiant principalement la fréquence d'ouverture tandis que le gating rapide est indépendant du Ca 2+. Pour les canaux BK, alors que Ca 2+ augmente de façon similaire la fréquence des ouvertures, il augmente également de façon marquée les durées des intervalles ouverts (McManus et Magleby, 1991).

Par conséquent, alors que BK et MthK semblent similaires en surface, car ils sont tous deux activés par Ca 2+ et possèdent des domaines de liaison RCK Ca 2+, les détails du mécanisme d'activation de Ca 2+ diffèrent entre les deux canaux. Ce n'est pas surprenant, car la structure du canal BK eucaryote est susceptible d'être plus complexe que celle du MthK plus primitif. Les canaux BK ont cinq domaines transmembranaires supplémentaires en amont de la région des pores, tandis que MthK n'a que les deux régions transmembranaires qui forment le pore. De plus, la grande terminaison COOH contenant RCK des canaux BK comprend également d'autres domaines fonctionnels ainsi que d'autres structures/sites de liaison au Ca 2+ (Schreiber et Salkoff, 1997 Shi et Cui, 2001 Zhang et al., 2001 Bao et al. , 2002 Xia et al., 2002).

Un modèle modifié de Monod-Wyman-Changeux décrit la synchronisation MthK Ca 2+

En utilisant nos données cinétiques, nous avons dérivé un modèle qualitatif pour décrire l'activation Ca 2+ de MthK. Ce modèle doit remplir les conditions suivantes : (a) le canal s'ouvre en 0 Ca 2+ (Fig.1) (b) la porte rapide en 0 Ca 2+ est identique à la porte rapide en saturant Ca 2+ (Fig. 4 , les durées d'ouverture et de fermeture au sein d'une salve sont indépendantes du Ca 2+), et (c) le canal s'ouvre plus fréquemment en présence de Ca 2+ , ce qui augmente la probabilité d'ouverture ∼ 100 fois (Fig. 3). Le but de cet effort de modélisation n'est pas de fournir un traitement cinétique exact avec des constantes de vitesse déterminées avec précision, mais de montrer qu'un modèle allostérique minimal dérivé de nos résultats expérimentaux (avec des contraintes structurelles) peut raisonnablement reproduire nos données.

Nous avons testé plusieurs schémas allostériques basés sur le modèle Monod-Wyman-Changeux (MWC Monod et al., 1965) qui se sont avérés appropriés pour d'autres canaux ligand-dépendants (Cox et al., 1997 Li et al., 1997) et le modèle proposé dans le schéma 1

est un modèle minimal qui satisfait toutes les conditions ci-dessus. Il doit y avoir au moins neuf états fermés et neuf états ouverts sur les deux premières rangées afin de satisfaire l'exigence d'avoir un état cinétique distinct pour chaque état d'occupation Ca 2+ (états ouvert et fermé correspondant à 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7 et 8 ions Ca 2+ liés).Ces rangées d'états sont reliées par des constantes de vitesse qui dépendent de Ca 2+ et sont impliquées dans le déclenchement lent dépendant de Ca 2+ de MthK. La constante d'équilibre de liaison du Ca 2+ est décrite par KCalifornie (KCalifornie = α[Ca 2+ ]/β, où les constantes de vitesse avant [α] et arrière [β] représentent les vitesses intrinsèques d'activation et de désactivation de Ca 2+ se liant à la fois à la conformation fermée et à la conformation ouverte de MthK. Pour simplifier, nous supposons que les constantes de liaison Ca 2+ sont identiques pour les conformations de canal ouvert et fermé (des résultats similaires sont obtenus si nous supposons qu'ils sont différents). L représente la constante d'équilibre (L = ko/kc, où ko et kc représentent respectivement les taux d'ouverture et de clôture, qui définissent les transitions verticales entre les deux premières rangées). Les transitions verticales entre les deux rangées supérieures sont identiques pour chaque conformation occupée par Ca 2+, à l'exception des huit conformations liées par Ca 2+, qui s'ouvrent avec une probabilité plus élevée conférée par un facteur f (pour satisfaire la réversibilité microscopique, f multiplie également la constante d'équilibre de la transition finale O7ca trop8ca). Cette manœuvre, qui distingue notre modèle proposé d'un modèle MWC classique, garantit que le canal est favorisé pour s'ouvrir principalement lorsque tous les sites de liaison du Ca 2+ sont occupés, comme l'exigent nos résultats, et permet en même temps une probabilité d'ouverture non nulle dans le absence de Ca 2+ . Le coefficient de coopérativité (μ) permet à chaque événement séquentiel de liaison au Ca 2+ de se produire avec une probabilité plus élevée. En l'absence de ce coefficient de coopérativité, nous n'avons pas pu simuler une courbe dose-réponse de Ca 2+ avec des coefficients de Hill supérieurs à 4. Les états fermés de la rangée du bas représentent les « états de scintillement ». Cet équilibre est décrit par KF (KF = kpour/kfc, où kpour et kfc sont des constantes de vitesse qui ne dépendent pas de Ca 2+ et définissent la porte rapide indépendante de Ca 2+ dans la salve).

Nous avons pu contraindre la plupart de ces taux en examinant nos résultats. . Étant donné que le comportement de déclenchement rapide est indépendant de Ca 2+, kf0 est déterminé par l'inverse du temps ouvert moyen au sein des salves (∼1,5 ms à -200 mV) et kfc par l'inverse du temps moyen de fermeture au sein de la salve (∼0,4 ms à -200 mV). Le taux de sortie des salves (taux de fermeture, kc) a été estimée comme l'inverse de la durée moyenne de burst en 0 Ca 2+ (∼50 ms à -200 mV). Les valeurs de ces constantes de vitesse déterminées expérimentalement sont dans le tableau I.

Ainsi, bien que le modèle du schéma 1 puisse paraître complexe en raison du nombre total d'états présentés (27), c'est en fait le modèle le plus simple qui satisfera à toutes les contraintes structurelles et expérimentales énumérées ci-dessus. De plus, du fait que nous avons pu déterminer directement certaines des constantes de vitesse microscopiques à partir de notre analyse cinétique, le modèle à 27 états du schéma 1 n'a que cinq paramètres libres : les taux d'association/dissociation du Ca 2+ (α et ), le taux d'ouverture ko, le facteur de coopérativité, , et le facteur f.

En utilisant le schéma 1 et les paramètres contraints, nous ajustons à l'œil nos données pour obtenir le reste des paramètres (tableau I). Nous avons ensuite simulé des traces à canal unique (Fig.7, A et B) et une courbe dose-réponse (Fig. 7 C) à l'aide du logiciel QuB comme détaillé dans Matériels et méthodes. Les données simulées illustrent visuellement que le schéma 1 récapitule les principales caractéristiques de déclenchement dépendantes du Ca 2+ de MthK (comparez les traces monocanal simulées sur la figure 7 avec les traces réelles sur les figures 1, 3 et 5). Les données simulées ont ensuite été analysées pour obtenir les paramètres cinétiques (présentés ensemble pour comparaison avec les données réelles dans le tableau II). Cette comparaison montre qu'en utilisant le schéma 1, nous avons également pu capturer certaines caractéristiques détaillées de la synchronisation MthK. (a) Les temps d'ouverture et de fermeture moyens simulés dans les salves sont indépendants du Ca 2+ et identiques en valeurs aux données réelles. (b) Les durées de salve simulées sont proches en valeur des données réelles et changent peu avec Ca 2+ . (c) Il y avait un grand changement (> 100 fois) dans les durées des écarts simulés entre les salves lors de l'augmentation de Ca 2+. La figure 7 C montre que nous avons également capturé la pente de la dose-réponse Ca 2+ (la courbe de la figure 7 C a été ajustée avec un coefficient de Hill de 7,5) obtenue en introduisant le coefficient de coopérativité, . Une valeur de probabilité d'ouverture maximale <1 (0,3 dans le cas illustré à la figure 7 C) a été obtenue en ajustant à la fois l'équilibre ouvert-fermé L et en faisant varier le facteur f, qui multiplie l'équilibre ouvert-fermé. Sur la figure 7C, avec les paramètres répertoriés dans le tableau I, la probabilité d'ouverture a augmenté d'environ 100 fois de 0 à 5 mM de Ca 2+, comme dans nos données expérimentales.

Des modèles allostériques similaires au modèle MWC modifié proposé ici pour le déclenchement Ca 2+ de MthK ont été utilisés pour décrire le déclenchement Ca 2+ dans les canaux BK (McManus et Magleby, 1991 Cox et al., 1997 Rothberg et Magleby, 1998 Rothberg et Magleby , 2000 Horrigan et Aldrich, 2002). Bien que notre modèle soit relativement simple, il capture les principales caractéristiques de l'activation du Ca 2+ de MthK.

Gating dépendant de la tension de MthK

Pour les canaux voltage-dépendants classiques (Shaker, canaux BK), l'augmentation de la dépolarisation membranaire entraîne une augmentation spectaculaire de la probabilité d'ouverture du canal accompagnée d'une augmentation de la durée des intervalles ouverts (Bezanilla et Stefani, 1994 Sigworth, 1994 Fedida et Hesketh , 2001). Étant donné que cette grande dépendance à la tension est causée par un domaine de capteur de tension contenu dans les quatre à cinq premiers segments transmembranaires, qui sont absents dans MthK, il n'est pas surprenant que la tension ne provoque pas une augmentation similaire de la probabilité d'ouverture dans MthK. À première vue, la tension semblait seulement perturber le comportement de scintillement des canaux MthK, réduisant considérablement la fréquence des événements de fermeture courts dans une rafale. Cela a un fort impact visuel en allongeant la durée d'ouverture du canal, tout en maintenant les longueurs de rafale constantes. Après une analyse cinétique plus poussée, nous avons constaté que la probabilité d'ouverture augmente également avec la tension (dans une moindre mesure) mais pas à cause du changement de cinétique intraburst. La probabilité d'ouverture a augmenté de deux à trois fois pour une dépolarisation de 150 mV, principalement en raison d'une diminution par deux des durées des écarts entre les salves (Fig. 5). Ainsi, il apparaît que deux mécanismes distincts sont responsables des effets de tension observés ici avec MthK : un majeur qui diminue l'activité de scintillement au sein du burst et un mineur qui augmente légèrement le Po en diminuant les durées des écarts entre les bursts. Nous nous concentrerons sur l'effet de tension majeur pour le reste de la discussion.

Le modèle décrit ci-dessus dans le schéma 1 peut-il être modifié pour capturer également l'effet majeur de la tension sur le déclenchement rapide ? Pour ce faire, nous avons attribué une dépendance de la tension aux constantes de vitesse correspondant aux transitions de scintillement verticales (rangée du milieu à la rangée inférieure) en supposant que seules les vitesses de fermeture dépendent de la tension (Eq. 5). Nous n'avons pas attribué de dépendance à la tension aux taux d'ouverture (kpour), car les durées des événements de fermeture au sein d'une salve ne varient pas avec la tension (Fig. 5 E). Nous avons utilisé z = 0,62, la valeur obtenue à partir de notre analyse de la dépendance de la durée d'ouverture à la tension sur la figure 5 B. En utilisant les paramètres répertoriés dans le tableau I, nous avons pu simuler des courants à canal unique qui capturent l'effet de la tension sur la synchronisation MthK. (Fig. 7B). Comme le montrent le tableau II et la figure 7 B, nous avons réussi à capturer avec précision l'augmentation du temps ouvert moyen avec dépolarisation en liant simplement la dépendance à la tension (avec une valeur z de 0,62) au taux de fermeture du scintillement. Nous n'avons pas tenté de capturer l'effet mineur de la tension sur la probabilité d'ouverture en utilisant le modèle ci-dessus.

Porte rapide et porte lente de MthK

Que nous dit cette analyse cinétique en termes de mécanisme ? Si nous examinons le modèle cinétique proposé ici, nous remarquons qu'il y a une nette séparation entre les états et transitions impliqués dans le gating lent dépendant du Ca 2+ et ceux impliqués dans le gating rapide dépendant de la tension. Cet effet ne dépend pas du modèle, car nous avons montré que le Ca 2+ et la tension agissent sur deux voies distinctes en raison des populations d'intervalles ouverts et fermés distinctes qu'ils affectent (Figs. 3 et 5).

Nous proposons qu'il existe deux portes distinctes sous-jacentes au déclenchement de MthK. La première est la porte Ca 2+ -dépendante proposée précédemment (Jiang et al., 2002b), située au tipi inversé à l'extrémité cytoplasmique des hélices internes. Il a été suggéré que lorsque Ca 2+ se lie, l'anneau de porte formé par huit domaines RCK change de conformation et tire sur les lieurs qui connectent l'anneau de porte aux hélices internes, ouvrant mécaniquement le canal. Une porte similaire a été proposée pour les canaux BK à la lumière de découvertes récentes selon lesquelles différentes longueurs de lieurs, à une position homologue au lieur MthK, affectent l'équilibre ouvert-fermé d'une manière prévisible pour un modèle de type « ressort » (Niu et al., 2004). Ce mécanisme semble plausible pour la porte lente des canaux MthK, et notre analyse cinétique est indifférente aux changements structurels réels qui se produisent lors de l'ouverture de la porte Ca 2+. Cependant, notre analyse met quelques contraintes sur les subtilités de ce mécanisme. Premièrement, la porte Ca 2+ ne s'ouvre pas lorsqu'elle est exposée à Mg 2+ c'est un phénomène spécifique à Ca 2+. Deuxièmement, la tension affecte également la porte lente (voir ci-dessus, l'effet mineur de la tension sur la probabilité d'ouverture). Cela peut se produire par un mécanisme différent de Ca 2+ , et non en modulant la liaison de Ca 2+ pour ouvrir la grille si la tension augmente également la probabilité d'ouverture et la durée des écarts entre les rafales dans nominalement 0 Ca 2+ (nous faisons pas suffisamment de données pour le moment pour réfuter cette possibilité). Troisièmement, notre courbe dose-réponse très raide et la faible affinité des sites de liaison pour Ca 2+ suggèrent que ce changement de conformation qui « tire » sur les hélices internes pour ouvrir le canal n'est favorisé que lorsque les huit ions Ca 2+ sont liés. . En raison de la faible affinité du calcium pour MthK, il est également probable que la vitesse de dissociation du Ca 2+ soit très rapide (comme le montre le tableau I). Si c'est le cas, alors en cas de Ca 2+ élevé, l'entrée dans les huit états ouverts liés au Ca 2+ est favorisée, bien que prédite pour être de courte durée en raison du taux de dissociation rapide du Ca 2+ couplé à une faible probabilité d'ouverture dans états partiellement liés. Cependant, une fois qu'un état ouvert est atteint, une deuxième porte entre en jeu, permettant au canal de scintiller très rapidement entre les états de scintillement ouvert et fermé (éclatement, voir le schéma 1) pendant le temps que le canal a la première porte ouverte.

La deuxième porte est la porte de scintillement modulée par la tension et responsable du comportement de porte rapide de MthK. Aucune indication d'une telle porte n'est visible dans la structure de MthK (Jiang et al., 2002a). Il existe plusieurs candidats potentiels pour une porte supplémentaire. L'un d'eux est le filtre de sélectivité réel qui a été proposé comme la seule porte pour plusieurs autres canaux K + (Flynn et Zagotta, 2001 Bruening-Wright et al., 2002 Kuo et al., 2003). Alternativement, ces scintillements dépendants de la tension pourraient représenter un blocage du canal ouvert par une particule chargée externe (molécules dans la solution d'enregistrement) ou interne (structures protéiques/résidus de chaîne latérale du canal proprement dit). Les seules molécules externes présentes sont K + , Cl − , Ca 2+ , Tris et CTX. Tris, Cl − , Ca 2+ et CTX peuvent être disqualifiés de la course puisque le premier n'est pas chargé, le second est un anion qui ne devrait pas pouvoir s'approcher du pore, et pour les deux derniers, des enregistrements dans le l'absence et la présence de l'un ou l'autre (Figs. 1 et 2) montrent un comportement de scintillement identique. Cela laisse K + comme une cause viable pour la génération d'un comportement de déclenchement rapide. Des précédents existent pour le blocage rapide du papillotement par des ions perméants dans les canaux CFTR (Linsdell et Hanrahan, 1996).

D'autres possibilités incluent le blocage par une chaîne latérale d'acides aminés chargés flexibles qui est favorisée pour faire saillie dans le pore lorsque l'anneau de déclenchement subit un changement de conformation. Nous ne pouvons pas identifier la chaîne latérale coupable potentielle en raison du fait que la résolution du pore du canal était juste assez élevée pour permettre le traçage du squelette de MthK alors que les chaînes latérales d'acides aminés n'étaient pas résolues (Jiang et al., 2002a).

Conclusion

MthK est un canal potassique rectifiant vers l'intérieur de faible affinité Ca 2+ et voltage-dépendant. La courbe dose-réponse MthK Ca 2+ a un coefficient de Hill impressionnant, ce qui suggère que le canal s'ouvre principalement lorsque les huit sites sont liés par Ca 2+ . MthK a deux modes de déclenchement distincts : la porte lente, affectée par Ca 2+ , et une porte rapide (flickers), affectée par la tension. L'augmentation de l'activité MthK avec Ca 2+ est principalement due à une augmentation de la fréquence d'ouverture des canaux. Bien que la tension ne conduise pas à une augmentation significative de l'activité du canal, elle modifie considérablement la fréquence des fermetures clignotantes au sein d'une rafale. Nous avons proposé un modèle cinétique MWC modifié qui se rapproche des principales caractéristiques de déclenchement de MthK.


Voir la vidéo: Les canaux ioniques (Janvier 2023).